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Lexikon der Mathematik: Hahn-Banach-Sätze

Gruppe von Sätzen über die Fortsetzbarkeit linearer Funktionale.

Ausgangspunkt der Hahn-Banach-Sätze ist die Frage, ob ein gegebener topologischer Vektorraum V hinreichend viele lineare stetige Abbildungen in seinen Grundkörper ℝ oder ℂ hat. Sie untersuchen also beispielsweise die Frage, wann der Dualraum V′ ≠ {0} ist, oder ob es zu jedem xV ein lineares Funktional f gibt mit f(x) ≠ 0. Dabei werden die Begriffe der lokalen Konvexität und des sublinearen Funktionals eine Rolle spielen. Ist V ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum, so heißt eine Abbildung p : V → ℝ ein sublineares Funktional, falls gilt:

  1. (i) p(αx) = αp(x) für alle α ≥ 0, xV;
  2. (ii) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) für alle x, yV.

Gilt sogar

  1. (i) p(x) ≥ 0 für alle xV,
  2. (ii) p(αx) = |α|p(x) für alle α ∈ ℝ bzw. α ∈ ℂ, xV,
  3. (iii) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) für alle x, yV, so spricht man von einer Halbnorm p. Offenbar ist jede Norm eine Halbnorm und jede Halbnorm ein sublineares Funktional.

Nun kann man einen ersten Fortsetzungssatz vom Hahn-Banach-Typ formulieren.

Es seien V ein reeller Vektorraum, UV ein Untervektorraum von V, p : V → ℝ ein sublineares Funktional und f : U → ℝ linear.

Gilt f(x) ≤ p(x) für alle x ∈ U, so gibt es zu jedem x0∈ V\M eine lineare Abbildung g : U + ∈ · x0 → ℝ mit den Eigenschaften:

  1. (i) Es seien V ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum, U ⊆ V ein abgeschlossener Unterraum und x0V\U. Dann gibt es ein fV′ mit f(x0) = {0} und f(x0) = 1.
  2. (ii) Es seien V ein separierter lokalkonvexer topologischer Vektorraum und x0E\{0}. < ?PageNum _356Dann gibt es ein fV′ mit f(x0) = 1.
  3. (iii) Es seien V ≠ {0} ein normierter Vektorraum und x0V. Dann gibt es ein fV′ mit ||f|| = 1 und f(x0) = ||x0||.

Weitere Folgerungen aus den Hahn-Banach-Sätzen sind die Tatsache, daß jeder normierte Raum ein dichter Unterraum eines Banachraums ist, sowie die Aussage, daß ein normierter Vektorraum V, dessen Dual V′ separabel ist, auch selbst separabel ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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