für eine Funktion f : X → ℝ, wobei X ein topologischer Raum sei, wie folgt erklärte Eigenschaft.

f heißt halbstetig von unten an einer Stelle a ∈ X genau dann, wenn es zu jedem b < f(a) eine Umgebung U von a gibt mit b < f(x) für alle x ∈ U. f heißt halbstetig von oben an der Stelle a genau dann, wenn es zu jedem b > f(a) eine Umgebung U von a gibt mit b > f(x) für alle x ∈ U, also genau dann, wenn −f an der Stelle a halbstetig von unten ist.

Die Funktion f ist genau dann stetig an der Stelle a, wenn sie dort halbstetig von unten und von oben ist. Die Funktion f heißt halbstetig von unten bzw. halbstetig von oben, wenn sie halbstetig von unten bzw. von oben an allen Stellen a ∈ X ist. f ist genau dann halbstetig von unten, wenn für jedes b ∈ ℝ die Menge {x ∈ X|b < f(x)} offen ist, und genau dann halbstetig von oben, wenn für jedes b ∈ ℝ die Menge {x ∈ X|b > f(x)} offen ist. Die Funktion f ist genau dann stetig, wenn sie halbstetig von unten und von oben ist.

Eine Menge M ⊂ X ist genau dann offen, wenn ihre charakteristische Funktion χ_M : X → {0, 1} halbstetig von unten, und genau dann abgeschlossen, wenn χ_M halbstetig von oben ist. Eine von unten halbstetige Funktion nimmt auf jeder kompakten Teilmenge K ⊂ X ein Minimum und eine von oben halbstetige Funktion ein Maximum an.

Halbstetigkeit kann man auch für Funktionen f : X → ℝ ⋃ {−∞, ∞} erklären. Das Supremum einer Familie von unten halbstetiger Funktionen ist dann von unten halbstetig, und das Infimum einer Familie von oben halbstetiger Funktionen ist von oben halbstetig. Entsprechendes gilt bzgl. der Stetigkeit i. allg. nur für endlich viele Funktionen.

Schließlich ist noch folgende Verwendung des Begriffs der Halbstetigkeit gebräuchlich: Es seien V und W normierte Vektorräume, G ⊆ W und P : V → \(\mathfrak{P}\)(G) eine Abbildung in die Potenzmenge von G. Dann heißt P von oben halbstetig, falls für jede abgeschlossene Teilmenge A von G die Menge {x ∈ V|P(x)⋂A ≠ ⌀} abgeschlossen ist. P heißt von unten halbstetig, falls für jede offene Teilmenge A von G die Menge {x ∈ V|P(x) ⋂ A ≠ ⌀} offen ist.

Neben „halbstetig von unten / oben“ sind auch die Bezeichnungen „unterhalb halbstetig“ und „oberhalb halbstetig“ gebräuchlich.