das Vektorfeld X_H auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω) (oder allgemeiner einer Poissonschen Mannigfaltigkeit (M, P)), das einer gegebenen reellwertigen C^∞-Funktion H auf M (in der Mechanik oft Hamilton-Funktion genannt) in folgender Weise zugeordnet wird: \begin{eqnarray}X_{H}:= P(\cdot, dH).\end{eqnarray}

<?PageNum _362Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten hat man die äquivalente Formel dH = ω(X_H, ·). Die Dynamik eines Hamilton-Feldes wird durch das dynamische System dc/dt = X_H(c) definiert. Man nennt (M, P, H) bzw. (M,ω,H) auch ein Hamiltonsches System. Man beachte, daß die Hamilton-Funktion H immer ein Integral der Bewegung darstellt. Im ℝ²ⁿ mit Koordinaten \begin{eqnarray}(q,p)=(q_{1},\ldots,q_{n},p_{1},\ldots,p_{n})\end{eqnarray} und symplektischer Poisson-Struktur \begin{eqnarray}P=\sum\limits_{i=1}^{n}\partial/\partial q_{i}\wedge \partial/\partial p_{i}\end{eqnarray} nimmt dieses System die Form der in der Mechanik bekannten Hamiltonschen Bewegungsgleichungen an: \begin{eqnarray}\frac{dq_{i}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}(q,p),\ \ \frac{dp_{i}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}(q,p).\end{eqnarray}