Bessel-Funktionen dritter Art. Der Separationsansatz zur Lösung der Wellengleichung führt zur Besselschen Differentialgleichung \begin{eqnarray}z^{2}\frac{d^{2}f}{dz^{2}}+z\frac{df}{dz}+(z^{2}+\nu^{2})f=0.\end{eqnarray} Für beliebiges ν erhält man daraus die Bessel-Funktionen erster Art \begin{eqnarray}J_{\nu}(z)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{\nu+2m}}{m!\Gamma (m+\nu+1)}.\end{eqnarray} Die Bessel-Funktionen zweiter Art, auch Neumannsche Funktionen genannt, berechnen sich dann aus den Bessel-Funktionen erster Art durch \begin{eqnarray}N_{\nu}(z)=\frac{1}{\sin(\nu\pi)}(J_{\nu}(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)).\end{eqnarray} Aus Bessel-Funktionen erster und zweiter Art kann man dann die Hankel-Funktionen berechnen, die man auch Bessel-Funktionen dritter Art nennt.

Man unterscheidet dabei zwischen den Hankel-Funktionen erster und zweiter Art \(H_{\nu}^{1}(z)\) und \(H_{\nu}^{2}(z)\). Sie sind definiert durch \begin{eqnarray}H^{1}_{\nu}(z)=J_{\nu}(z)+i\cdot N_{\nu}(z)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}H^{2}_{\nu}(z)=J_{\nu}(z)-i\cdot N_{\nu}(z).\end{eqnarray}