eine Filtration auf einer rein n-dimensionalen Garbe.

Sei X ein projektives Schema über k und \({{\mathcal{O}}_{X}}(1)\) ein amples Geradenbündel.

Eine besondere Rolle spielen stabile oder semistabile kohärente Garben, einerseits wegen der Existenz von Modulräumen für semistabile Garben, andererseits weil alle rein-dimensionalen Garben aus semistabilen Garben „zusammengesetzt“ sind in folgendem Sinne: Eine kohärente Garbe \(\mathcal{F}\) heißt rein n-dimensional, wenn alle Untergarben ≠ 0 die Dimension n haben. Eine solche Garbe besitzt eine Filtration \begin{eqnarray}0=\mathcal{F}_{0}\subset \mathcal{F}_{1}\subset \mathcal{F}_{2}\subset\cdots\subset \mathcal{F}_{l}=\mathcal{F}\end{eqnarray} durch kohärente Untergarben \({{\mathcal{F}}_{j}}\) so, daß

1. (i) \({{\mathcal{F}}_{j}}\)/\({{\mathcal{F}}_{j-1}}\) semistabil ist für j = 1, …,l, und
2. (ii) die normierten Hilbert-Polynome eine echt absteigende Folge bilden (wobei hier die Relation \({{p}_{1}}\gt{{p}_{2}}\) für Polynome \({{p}_{1}},{{p}_{2}}\in \mathbb{Q}[t]\) bedeutet, daß \({{p}_{1}}(\nu)\gt{{p}_{2}}(\nu)\) für alle ν ≥ ν₀ ).

Die Filtration ist durch diese beiden Eigenschaften eindeutig bestimmt und heißt Harder-Narasimhan-Filtration.