Zweig der Mathematik, der sich im weitesten Sinne mit Fourier-Entwicklungen und Fourier-Reihen sowie deren vielfältigen Verallgemeinerungen beschäftigt, etwa Pseudodifferentialoperatoren.

Im engeren Sinne versteht man hierunter die Superposition einer gegebenen Funktion f durch „harmonische Oszillationen“ gegeben durch exp(iλt). Genauer: Ist α(λ) eine komplexwertige, rechtstetige Funktion auf ℝ beschränkter Variation V(α) < ∞ und ist \begin{eqnarray}f(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\lambda t}d\alpha(\lambda),\end{eqnarray} dann sagt man, die Funktion f sei eine Überlagerung harmonischer Oszillationen. Umgekehrt kann man auch das Problem stellen, für ein gegebenes f das geeignete α zu finden, so daß die Gleichung (1) gilt.

Man beweist die folgenden Sätze: Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß sich eine Funktion f : ℝ → ℂ in der Form (1) enwickeln läßt, ist \begin{eqnarray}\sup\limits_{n\geq 1}\int\limits_{\mathbb{R}}\Biggl\vert\int\limits_{\mathbb{R}}\Biggl(\frac{\sin(t/n)}{t/n}\Biggr)^{2}f(t)e^{-i\lambda t}dt\Biggr\vert d\lambda<\infty.\end{eqnarray} Für ein f in der Form (1) gilt für alle λ₀\begin{eqnarray}\alpha(\lambda_{0})-\lim\limits_{\lambda\nearrow\lambda_{0}}\alpha(\lambda)=\lim\limits_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int\limits_{-T}^{T}f(t)e^{-\lambda_{0}t}dt.\end{eqnarray} Ist α an den Stellen λ = λ₀ ± σ, σ > 0 stetig, so ist ferner \begin{eqnarray}&\alpha(\lambda_{0}+\sigma)-\alpha(\lambda_{0}-\sigma)=\\ &=\lim\limits_{T\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_{-T}^{T}\frac{\sin(\sigma t}{t}f(t)e^{-i\lambda_{0}t}dt.\end{eqnarray}