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Lexikon der Mathematik: harmonisches Maß

in der Funktionentheorie verwendetes Wahrscheinlichkeitsmaß der folgenden Art.

Ein harmonisches Maß für ein Gebiet \(G\subset \hat{\mathbb{C}}\) an einem Punkt aG ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(\omega^{a}_{G}\) auf \(\partial_{\infty}G\) derart, daß für jede in clG stetige und in G harmonische Funktion u gilt \begin{equation}u(a)=\int\limits_{a_{\infty}G}u(z)d\omega_{G}^{a}(z)\end{equation} Dabei ist clG der Abschluß und G der Rand von G jeweils in \(\hat{\mathbb{C}}\). Dieses Maß ist stets eindeutig bestimmt und existiert für jedes aG, falls das Komplement \(\hat{\mathbb{C}}\backslash G\) von G keine nur aus einem Punkt bestehende Zusammenhangskomponente besitzt. Im folgenden werden nur Gebiete betrachtet, für die das harmonische Maß existiert.

Das harmonische Maß für G hängt von dem Punkt aG ab. Jedoch sind für a, bG die Maße \(\omega_{G}^{a}\) und \(\omega_{G}^{b}\) äquivalent, d. h. für E ⊂ ∂G gilt \(\omega_{G}^{a}(E)=0\) genau dann, wenn \(\omega_{G}^{b}(E)=0\). Genauer gilt sogar: Es existiert eine Konstante c > 0 (die im allgemeinen von a, b und G abhängt) derart, daß für E ⊂ ∂G gilt \begin{equation}c\omega_{G}^{a}(E)\leq \omega_{G}^{b}(E)\leq c^{-1}\omega_{G}^{a}(E).\end{equation} Jede Borel-Menge E ⊂ ∂G ist eine \(\omega_{G}^{a}\)-meßbare Menge, und durch ω(z) := \(\omega_{G}^{z}(E)\) wird eine in G harmonische Funktion ω definiert.

Weiter gibt es Mengen A ⊂ E und BG\E mit \(\omega_{G}^{a}(\partial_{\infty}G \backslash(A\cup B))=0\) derart, daß \(\lim_{z\rightarrow \xi}\omega(z)=1\) für ζ ∈ A und \(\lim_{z\rightarrow \zeta}\omega(z)=0\) für ζ ∈ B. Außerdem besitzt \(\omega_{G}^{a}\) keine Atome, d. h. für jeden Punkt ζG gilt \(\omega_{G}^{a}(\{\zeta\})=0\).

Im Spezialfall \(G=\mathbb{E}=\{z \in \mathbb{C}:\vert z \vert \lt 1 \}\) und a = 0 ist \(\omega^{0}_{\text{E}}\) gerade das normalisierte Lebesgue-Maß m auf \(\mathbb{T}=\partial E\). Normalisiert bedeutet dabei, daß \(m(\mathbb{T})=1\). Für einen beliebigen Punkt \(a\in \mathbb{E}\) ist \(d\omega_{\mathbb{E}}^{a}=P_{a}\) d.h. für jede Lebesgue-meßbare Menge \(E\subset \mathbb{T}\) gilt \begin{equation}\omega_{\mathbb{E}}^{a}=\int\limits_{E}p_{a}(z)dm(z),\end{equation} wobei \begin{equation}p_{a}(z)=\frac{1}{2\pi}\frac{1-\vert z\vert^{2}}{\vert a-z \vert^{2}}=\frac{1}{2\pi}\mathrm{Re}\frac{a+z}{a-z}\end{equation} der Poisson-Kern ist. Ist speziell \begin{equation}E:=\{e^{it}:t_{1}\leq t\leq t_{2}\}, \ \ 0\lt 2\alpha :=t_{2}-t_{1}\lt 2\pi\end{equation} ein Kreisbogen auf \(\mathbb{T}\), so gilt für \(a\in \mathbb{E}\)\begin{equation}\omega_{\mathbb{E}}^{a}(E)=\frac{1}{\pi}\left(\arg\frac{a-e^{it_{2}}}{a-e^{it_{1}}}-\alpha\right).\end{equation} Dabei wird das Argument arg \(\arg\frac{a-e^{it_{2}}}{a-e^{it_{1}}}\)(Argument Einer Komplexen Zahl) durch den Wert 2α für a = 0 eindeutig festgelegt.

Einige weitere Beispiele (dabei bezeichne Arg stets den Hauptwert des Arguments):

  1. (a) Es sei \(G=\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}\ z \gt 0\}\) die obere Halbebene und \(E=[x_{1},x_{2}]\subset \partial\mathbb{H}=\mathbb{R}\) ein Intervall. Dann gilt für \(a \in \mathbb{H}\)\begin{equation}\omega_{\mathbb{H}}^{a}(E)=\frac{1}{\pi}\mathrm{Arg}\frac{a-x_{2}}{a-x_{1}}.\end{equation}
  2. (b) Es sei G die Halbkreisscheibe \({z\in \mathbb{E}:\text{Im}\ z \gt0}\) und \(E=\{z\in \mathbb{T}:\mathrm{Im}\ z\geq 0\}\). Dann gilt für aG \begin{equation}\omega_{G}^{a}(E)=\frac{2}{\pi}\mathrm{Arg}\frac{1+a}{1-a}.\end{equation}
  3. (c) Es sei G die geschlitzte Einheitskreisscheibe \(\mathbb{E}\) \[0, 1] und E = [0, 1]. Dann gilt für aG \begin{equation}\omega_{G}^{a}(E)=1-\frac{2}{\pi}\mathrm{Arg}\frac{1+\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}},\end{equation} wobei stets Im \(\sqrt{a}>0$?> gilt.
  4. < ?PageNum _374(d) Es sei G der Kreisring {z ∈ ℂ : 0 < r1 < |z| < r2 < ∞}, E1 ={z ∈ ℂ : |z| = r1} und E2 = {z ∈ ℂ : |z| = r2}. Dann gilt für aG \begin{eqnarray}\begin{array}{*{35}{l}}\omega _{G}^{a}( {{E}_{1}}) & = & \frac{\log {{r}_{2}}-\log \left| a \right|}{\log {{r}_{2}}-\log {{r}_{1}}}, \\ \omega _{G}^{a}( {{E}_{2}}) & = & \frac{\log \left| a \right|-\log {{r}_{1}}}{\log {{r}_{2}}-\log {{r}_{1}}}.\\\end{array}\end{eqnarray}

Nun sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit G ≠ ℂ und f eine konforme Abbildung von \(\mathbb{E}\) auf G. Dann existieren die radialen Randwerte \begin{eqnarray}[f*\left( {{e}^{it}} \right):=\underset{r\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( r{{e}^{it}} \right)\end{eqnarray} für fast alle t ∈ [0, 2π). Hierdurch wird eine Funktion \(f*:\mathbb{T}\to \partial G\) definiert. Ist \(\alpha \in \mathbb{E}\) und a := f(α), so gilt \begin{eqnarray}\omega _{G}^{a}\circ f=\omega _{\mathbb{E}}^{\alpha },\end{eqnarray} d. h. für jede meßbare Menge \(E\subset \mathbb{T}\) gilt \(\omega _{G}^{a}\left( f\left( E \right) \right)=\omega _{\mathbb{E}}^{\alpha }\left( E \right)\). Diese Eigenschaft des harmonischen Maßes nennt man auch konforme Invarianz. Ist speziell ∂G eine rektifizierbare Jordan-Kurve, so ist \(\omega _{G}^{a}\) äquivalent zum Längenmaß auf ∂G.

Das harmonische Maß besitzt folgende Monotonieeigenschaft:

Sind G, \(H\subset \hat{\mathbb{C}}\)Gebiete mit HG, aH und \(E\subset {{\partial }_{\infty }}G\mathop{\cap }^{}{{\partial }_{\infty }}H\)eine Borel-Menge, so gilt \begin{eqnarray}\omega _{H}^{a}\left( E \right)\le \omega _{G}^{a}\left( E \right).\end{eqnarray}

Zwei weitere wichtige Ergebnisse, bei denen das harmonische Maß eine zentrale Rolle spielt, lauten:

Es sei \(G\subset \hat{\mathbb{C}}\)ein Gebiet und u eine in G beschränkte, harmonische Funktion. Weiter sei \(E\subset {{\partial }_{\infty }}G\)eine Menge mit \(\omega _{G}^{a}\left( E \right)=0\), aG und \(\lim\limits_{z\to\zeta}\ u\left( z \right)=0\)für alle \(\zeta \in {{\partial }_{\infty }}G\backslash E\).

Dann gilt h(z) = 0 für alle z e G.

Es sei \(G\subset \hat{\mathbb{C}}\)ein Gebiet, A eine in G abgeschlossene Menge mit \(\omega _{G\backslash A}^{a}\left( {{\partial }_{\infty }}A\mathop{\cap }^{}G \right)=0,\,a\in \,G\backslash A\)und u eine in G\A beschränkte, harmonische Funktion.

Dann ist u nach G harmonisch fortsetzbar, d. h. es existiert eine in G harmonische Funktion U mit U(z) = u(z) für zG\A.

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem harmonischen Maß und der Greenschen Funktion. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, aG und gG(·, a) die Greensche Funktion von G mit Pol an a. Dann gilt \begin{eqnarray}{{g}_{G}}\left( z,\,a \right)=\underset{{{\partial }_{\infty }}G}{\mathop \int }\,\log \left| \zeta -a \right|d\omega _{G}^{z}\left( \zeta \right)-\log \,\left| z-a \right|.\end{eqnarray} Wichtige Anwendungen des harmonischen Maßes sind der Satz von Milloux (Milloux, Satz von) und der Zwei-Konstanten-Satz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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