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Lexikon der Mathematik: harmonisches Mittel

die zu n positiven reellen Zahlen x1, …, xn durch \begin{eqnarray}[H\left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{n}} \right):=\frac{n}{\frac{1}{{{x}_{1}}}+\cdots +\frac{1}{{{x}_{n}}}}]\end{eqnarray} definierte positive reelle Zahl (also der Kehrwert des arithmetischen Mittels von \(\frac{1}{{{x}_{1}}},\ldots,\frac{1}{{{x}_{n}}}\)) mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\frac{1}{H\left( x,y \right)}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{H\left( x,\,y \right)}\end{eqnarray} für x, y > 0.

Für 0 < x < y ist x < H(x,y) < y. Es gilt \begin{eqnarray}[{{H}_{\left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{n}} \right)}}={{M}_{-1}}\left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{n}} \right),]\end{eqnarray} wobei Mt das Mittel t-ter Ordnung ist.

Die Ungleichungen für Mittelwerte stellen u. a. das harmonische Mittel in Beziehung zu den anderen Mittelwerten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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