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Lexikon der Mathematik: harter Lefschetz-Satz

Zerlegung der komplexen Kohomologie, die man unter Anwendung der Hodge-Identitäten und der Darstellungstheorie von SL2 erhält. Dabei bezeichne sl2 die Lie-Algebra der Gruppe SL2. Sei M eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit. ω bezeichne die zur Hermiteschen Metrik gehörige Kähler-Form. Für den Operator \(L:{{A}^{p,q}}\left( M \right)\to {{A}^{p+1,q+1}}\left( M \right)\), \(L\left( \eta \right)=\eta \wedge \omega \), ist die Abbildung \begin{eqnarray}{{L}^{k}}:{{H}^{n-k}}\left( M \right)\to {{H}^{n+k}}\left( M \right)\end{eqnarray} ein Isomorphismus; Λ = L* bezeichne den zu L adjungierten Operator. Definiert man dann die primitive Kohomologie Pn-k(M) := KerLk+1: \({{H}^{n-k}}\left( M \right)\to {{H}^{n+k+2}}\left( M \right)=\left( Ker\,\Lambda \right)\mathop{\cap }^{}{{H}^{n-k}}\left( M \right)\) so folgt \begin{eqnarray}{{H}^{m}}\left( M \right)=\underset{k}{\mathop{\oplus }}\,{{L}^{k}}{{P}^{m-2k}}\left( M \right);\end{eqnarray} diese Zerlegung nennt man die Lefschetz-Zerlegung. Sie ist verträglich mit der Hodge-Zerlegung: Setzt man \({{P}^{p,q}}\left( M \right)=\left( Ker\,\Lambda \right)\mathop{\cap }^{}{{H}^{p,q}}\left( M \right)\), dann gilt \begin{eqnarray}{{P}^{l}}\left( M \right)=\underset{p+q=l}{\mathop{\oplus }}\,{{P}^{p,q}}\left( M \right).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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