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Lexikon der Mathematik: Hartman-Grobman-Theorem

Grobman-Hartman-Theorem, lautet:

Seien eine Mannigfaltigkeit M und ein Diffeomorphismus f : MM gegeben. Sei x0ein hyperbolischer Fixpunkt von f. Dann gibt es Umgebungen U(x0) ⊂ M von x0und V(0) ⊂ TpM von 0 sowie einen Homöomorphismus h : U(x0) → V(0) so, daß gilt: \begin{eqnarray}h\circ df\left( {{x}_{0}} \right)=f\circ h.\end{eqnarray}

Dieser Satz erlaubt es, die Untersuchung des lokalen Verhaltens eines Flusses in der Nähe hyperbolischer Fixpunkte auf die Untersuchung der Linearisierung df(x0) (Linearisierung eines Vektorfeldes) von f bei x0 zurückzuführen. Insbesondere hat ein hyperbolischer Fixpunkt eines differenzierbaren dynamischen Systems (M, ℝ, Φ) dasselbe Stabilitätsverhalten wie der Fixpunkt 0 des dynamischen Systems \(({{T}_{{{x}_{0}}}}M,\mathbb{R},df({{x}_{0}}))\).

[1] Palis, J.; Melo, W. de: Geometric Theory of Dynamical Systems. Springer-Verlag New York, 1982.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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