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Lexikon der Mathematik: Hauptkrümmungen

die beiden Extremwerte k1(x) und k2(x) der Normalkrümmung \({k}_{n}({\mathfrak{v}})\) einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) in Richtung eines Tangentialvektors v in einem Punkt \(x\in {\mathcal F} \).

Da die Funktion \({k}_{n}({\mathfrak{v}})\) nur von der Richtung von \({\mathfrak{v}}\) abhängt, kann man sie als stetige periodische Funktion des Winkels φ zwischen \({\mathfrak{v}}\) und einem festen Tangentialvektor \({{\mathfrak{e}}}_{1}\) ansehen. Daher besitzt sie ein Maximum k1 und ein Minimum k2.

Eine äquivalente Definition finden k1 und k2 als Eigenwerte der Weingartenabbildung. Sie bestimmen über diese die wesentlichen Krümmungseigenschaften der Fläche, besitzen aber gegenüber der Gaußschen und der mittleren Krümmung \begin{eqnarray}k={k}_{1}{k}_{2}\quad \text{bzw}\text{.}\quad h=({k}_{1}+{k}_{2})/2\end{eqnarray} untergeordnete Bedeutung, da diese der Berechnung leichter zugänglich sind und wichtige Invarianzeigenschaften haben. Sie lassen sich durch k und h als Nullstellen der quadratischen Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{2}-2hx+k=0\end{eqnarray} darstellen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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