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Lexikon der Mathematik: Hauptkrümmungslinie

manchmal auch nur Krümmungslinie genannt, Kurve auf einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\), deren Tangentialvektoren Hauptkrümmungsrichtung haben.

Gleichwertig damit ist, daß ihre Normalkrümmung mit einer der beiden Hauptkrümmungen der Fläche übereinstimmt.

In einer gewissen Umgebung \(U\subset {\mathcal F} \) eines jeden Punktes \(P\in {\mathcal F} \), der kein Nabelpunkt ist, gibt es stets ein Netz bestehend aus zwei Scharen von Hauptkrümmungslinien. Diese ergeben sich in einer Parameterdarstellung \(\Phi (u,v)\) von \( {\mathcal F} \) in einer Umgebung von P als Lösungen der Differentialgleichung \begin{eqnarray}(FE-LF){{u}^{^{\prime} }}^{2}+(NE-LG){u}^{^{\prime} }{v}^{^{\prime} }+(NF-MG){{v}^{^{\prime} }}^{2}=0,\end{eqnarray} in der E, F, G, L, M, N die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Gaußschen Fundamentalform sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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