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Lexikon der Mathematik: Hauptkrümmungsrichtung

Richtung auf einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\), in der die Normalkrümmung \({k}_{n}({\mathfrak{v}})\) von \( {\mathcal F} \) einen ihrer beiden Extremwerte k1 und k2 annimmt.

Da die Hauptkrümmungen k1 und k2 auch als Eigenwerte der Weingartenabbildung S definiert werden können und S in bezug auf die erste Gaußschen Fundamentalform selbstadjungiert ist, sind die Hauptkrümmungsrichtungen zueinander senkrecht.

Die Eigenvektoren \({\mathfrak{v}}\) von S lassen sich durch die einfache Gleichung \({\mathfrak{v}}\times S({\mathfrak{v}})=0\) bestimmen. Wählt man eine Parameterdarstellung \(\Phi (u,v)\) für \( {\mathcal F} \), so sind die Tangentialvektoren \({\Phi }_{u}=\partial \Phi /\partial u\) und \({\Phi }_{v}=\partial \Phi /\partial v\) eine Basis der Tangentialebene, und man kann \({\mathfrak{v}}\) als Linearkombination \begin{eqnarray}{\mathfrak{v}}={v}_{1}{\Phi }_{u}+{v}_{2}{\Phi }_{v}\end{eqnarray} schreiben. Dann führt die Bedingung \({\mathfrak{v}}\times S({\mathfrak{v}})=0\) auf die Gleichung \begin{eqnarray}(FE-LF){v}_{1}^{2}+(NE-LG){v}_{1}{v}_{2}+(NF-MG){v}_{2}^{2}=0\end{eqnarray} für v1 und v2, in der E, F, G, L, M, N die Koeffizienten ersten bzw. zweiten Gaußschen Fundamentalform sind. Diese Gleichung läßt sich einprägsamer in Determinantenform \begin{eqnarray}\left|\begin{array}{lll}{v}_{2}^{2} & -{v}_{1}{v}_{2} & {v}_{1}^{2}\\ E & F & G\\ L & M & N\end{array}\right|=0\end{eqnarray} schreiben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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