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Lexikon der Mathematik: Hauptsatz der Cauchy-Theorie

charakterisiert einfach zusammenhängende Gebiete G ⊂ ℂ sowohl topologisch als auch funktionentheoretisch. Der Satz lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und \({\mathscr{O}(G)}\)die Algebra aller in G holomorphen Funktionen (Algebra der holomorphen Funktionen). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent :

  1. Es ist G einfach zusammenhängend.
  2. Es ist G homologisch einfach zusammenhängend, d. h. jeder rektifizierbare, geschlossene Weg in G ist nullhomolog in G.
  3. Der RandG von G ist zusammenhängend.
  4. Das Komplement \(\hat{{\mathbb{C}}}\)\ G von G in \(\hat{{\mathbb{C}}}\)ist zusammenhängend.
  5. Jede Funktion \(f\in {\mathscr{O}}(G)\)besitzt eine Stammfunktion in G, d. h. es existiert eine Funktion \(F\in {\mathscr{O}}(G)\)mit \(F\text{'}(z)=f(z)\)für alle zG.
  6. Für alle \(f\in {\mathscr{O}}(G)\)und jeden rektifizierbaren, geschlossenen Weg γ in G gilt \begin{eqnarray}\displaystyle {\int }_{\gamma }f(z)dz=0.\end{eqnarray}
  7. Für alle \(f\in {\mathscr{O}}(G)\)und jeden rektifizierbaren, geschlossenen Weg γ in G gilt \begin{eqnarray}{\text{ind}}_{\gamma }(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle {\int }_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \end{eqnarray}für alle zG \ γ. Dabei bezeichnet indγ (z) die Umlaufzahl von γ bezüglich z.
  8. Jede Einheit \({e}^{g(z)}=f(z)\)für alle zG.
  9. Jede Einheit \({\mathbb{E}}\).
  10. Es ist G homöomorph zur offenen Einheitskreisscheibe \({\mathbb{E}}\), d. h. es existiert eine bijektive Abbildung φ : G λ \({\mathbb{E}}\)derart, daß φ und die Umkehrabbildung φ−1stetig sind.
  11. Zu jeder in G harmonischen Funktion u existiert eine Funktion \begin{eqnarray}f\in {\mathscr{O}}(G)\end{eqnarray}mit u(z) = Ref (z) für alle zG.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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