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Lexikon der Mathematik: Hauptteil-Verteilung

eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ definierte Abbildung φ, die jedem aD eine in ℂ \{a} konvergente Laurent-Reihe qa der Gestalt \begin{eqnarray}{q}_{a}(z)=\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\frac{{c}_{v}}{{(z-a)}^{v}}\end{eqnarray} zuordnet derart, daß der Träger \(T=\{a\in D:{q}_{a}(z)\ne 0\}\) von φ diskret und abgeschlossen in D ist, d. h. keinen Häufungspunkt in D besitzt. Jede Funktion qa heißt ein Hauptteil in a. Existiert ein m ∈ ℕ derart, daß \({c}_{\mu }=0\) für alle μm, so heißt qa ein endlicher Hauptteil in a.

Jede in D bis auf isolierte Singularitäten holomorphe Funktion f definiert eine HauptteilVerteilung H( f) in D, falls man für T die Menge der isolierten Singularitäten von f und für aT als qa den Hauptteil der Laurent-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a wählt. Ist speziell f eine in D meromorphe Funktion, so ist T die Menge der Polstellen von f, und jeder Hauptteil ist endlich.

Hauptteil-Verteilungen in D können in natürlicher Weise addiert und subtrahiert werden, und sie bilden eine additive abelsche Gruppe. Es besteht ein Zusammenhang zu Divisoren (siehe Divisorengruppe). Ist nämlich f eine in D nicht konstante, holomorphe Funktion und \({\mathfrak{d}}\) der Divisor von f, so erhält man durch \begin{eqnarray}\varphi (a):={\mathfrak{d}}(a)/(z-a)\end{eqnarray}, aD die Hauptteil-Verteilung der in D meromorphen Funktion f′/f.

Der wichtige Satz von Mittag-Leffler besagt, daß zu jeder Hauptteil-Verteilung φ in D mit Träger T eine in D \ T holomorphe Funktion f mit H(f) = φ existiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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