diejenige in der geschlitzten Ebene \({{\mathbb{C}}}^{-}={\mathbb{C}}\(-\infty, 0]\) holomorphe Funktion f mit \begin{eqnarray}f(z)=\exp (\alpha \,\text{Log}z)\end{eqnarray} für \(z\in {{\mathbb{C}}}^{-}\), wobei \(\alpha \in {\mathbb{C}}\), exp die Exponentialfunktion und Log der Hauptzweig des Logarithmus ist. Man schreibt \begin{eqnarray}f(z)={z}^{a}.\end{eqnarray} Im Spezialfall \(\alpha =\frac{1}{n}\) erhält man den Hauptzweig der Wurzel.

Für die Ableitung gilt \begin{eqnarray}\frac{d}{dz}{z}^{a}=a{z}^{-1}.\end{eqnarray} Für \(|z|\lt 1\) ist der Hauptzweig von \({(1+z)}^{\alpha }\) in eine Taylor-Reihe um 0 entwickelbar, und diese ist durch die Binomialreihe gegeben.

Im allgemeinen existieren abzählbar unendlich viele in \({{\mathbb{C}}}^{-}\) holomorphe Zweige von \({z}^{\alpha }\), entsprechend den verschiedenen Zweigen des Logarithmus. Betrachtet man speziell \(\alpha =\frac{m}{n}\in {\mathbb{Q}}\) mit teilerfremden Zahlen m ∈ ℤ und n ∈ ℕ, so gibt es genau n Zweige von \({z}^{\alpha }\). Für n = 1, d. h. α ∈ ℤ, hat man also nur einen einzigen Zweig von \({z}^{\alpha }\), und dieser ist nach \({{\mathbb{C}}}^{* }={\mathbb{C}}/\{0\}\) holomorph fortsetzbar; im Fall \(\alpha \in {{\mathbb{N}}}_{0}\) ist \({z}^{\alpha }\) eine ganze Funktion. Ist \(\alpha \notin {\mathbb{Q}}\), so ist keiner der Zweige von \({z}^{\alpha }\) in einen Punkt \({x}_{0}\in (-\infty, 0]\) stetig fortsetzbar.

Bei der Anwendung der aus dem Reellen bekannten Potenzrechenregel \({(xy)}^{\alpha }={x}^{\alpha }{y}^{\alpha }\) ist im Komplexen Vorsicht geboten. Sie bleibt für beliebige \(\alpha \in {\mathbb{C}}\) gültig, sofern x, y > 0, wobei auf beiden Seiten jeweils der Hauptzweig zu nehmen ist. Für x, y ∈ ℂ ist sie aber im allgemeinen nicht mehr richtig. Dazu sei x = i, y = i − 1 und α = i. Dann gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{x}^{\alpha }={e}^{i\,\text{Log}i}={e}^{-\pi /2},\\ {y}^{\alpha }={e}^{i\,\text{Log}(i-1)}={e}^{-3\pi /4+i\,\text{Log}\sqrt{2}},\end{array}\end{eqnarray} also \begin{eqnarray}{x}^{\alpha }{y}^{\alpha }={e}^{-5\pi /4+i\,\text{Log}\sqrt{2}},\end{eqnarray} aber \begin{eqnarray}{(xy)}^{\alpha }={(-1-i)}^{i}={e}^{i\,\text{Log}(-1-i)}={e}^{3\pi /4+i\,\text{Log}\sqrt{2}}.\end{eqnarray}