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Lexikon der Mathematik: Hausdorff-Dimension

wichtiges Beispiel einer fraktalen Dimension.

Es sei X Banachraum. Für eine nichtleere beschränkte Teilmenge FX mit dem Hausdorff-Maß \({\mu }_{s}^{H}(F)\) heißt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll} & {\text{dim}}_{H}F:=\inf \{s|{\mu }_{s}^{H}(F)=0\} \\& \quad \quad \quad \,\,\,=\sup \{s|{\mu }_{s}^{H}(F)=\infty \}\end{array}\end{eqnarray} Hausdorff-Dimension von F.

Die Hausdorff-Dimension besitzt folgende Eigenschaften:

  • Offene beschränkte Teilmengen des \({{\mathbb{R}}}^{n}\) und n-dimensionale stetig differenzierbare Mannigfaltigkeiten haben die Hausdorff-Dimension n.
  • Abzählbare Mengen haben die Hausdorff-Dimension 0.
  • Monotonie: dimHE ≥ dimHF für EF.
  • Abzählbare Stabilität: Für eine Folge von Mengen \({\{{F}_{i}\}}_{i\in {\mathbb{N}}}\) gilt dimH \begin{eqnarray}\displaystyle {\cup }_{i=1}^{\infty }{F}_{i}={\sup }_{i\in {\mathbb{N}}}\{di{m}_{H}{F}_{i}\}\end{eqnarray}.
Siehe hierzu auch Hausdorff-Maß.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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