ein spezielles äußeres Maß. Es sei (Ω, d) ein metrischer Raum mit Metrik d. Dann sind für α > 0 \begin{eqnarray}{\bar{\mu }}_{\alpha, \delta }(A):=\inf \left\{\displaystyle \sum _{n\in {\mathbb{N}}}(d({A}_{n}){)}^{\alpha }|A\subseteq \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n}\right\}\end{eqnarray} mit \(d({A}_{n})\le \delta \) für alle n ∈ N\({\mathbb{N}}\)} und \begin{eqnarray}{\bar{\mu }}_{\alpha }:=\sup \{{\bar{\mu }}_{\alpha, \delta }(A)|\delta \gt 0\}\end{eqnarray} äußere Maße auf P(Ω). \({\bar{\mu }}_{\alpha }\) ist ein metrisches äußeres Maß und heißt das Hausdorffsche äußere Maß. α nennt man auch seine Hausdorff-Dimension. Die Bezeichnung Dimension ist insofern gerechtfertigt, als für \(\Omega ={\mathbb{R}}\), versehen mit der euklidschen Metrik, \({\bar{\mu }}_{p}\) für \(p\in {\mathbb{N}}\) bis auf einen positiven Faktor gleich dem Lebesgueschen äußeren Maß \({\bar{\lambda }}^{p}\) auf \(P({{\mathbb{R}}}^{p})\) ist.

Die Konstruktion des Hausdorffschen äußeren Maßes kann von der Funktion \({(d(An))}^{\alpha }\) für α > 0 ausgedehnt werden auf h(d(An)), wobei \(h:{{\mathbb{R}}}_{+}\to {{\mathbb{R}}}_{+}\) eine rechtsseitig stetige isotone Funktion ist, die auf \({{\mathbb{R}}}_{+}/\{0\}\) positiv ist. Dieses äußere Maß wird mit \({\bar{\mu }}_{h}\) bezeichnet.

Die Einschränkung des Hausdorffschen äußeren Maßes \({\bar{\mu }}_{h}\) auf die σ-Algebra der \({\bar{\mu }}_{h}\)-meßbaren Mengen heißt Hausdorff-Maß.