üblicherweise bezeichnet mit H(q, m), ist für \(q\in {\mathbb{C}}\) und \(m\in {\mathbb{N}}\) die assoziative Algebra über ℂ (mit Einheit 1) erzeugt von den Elementen \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\ldots, {\sigma }_{m-1}\) mit den Relationen

1. \({\sigma }_{i}{\sigma }_{i+1}{\sigma }_{i}={\sigma }_{i+1}{\sigma }_{i}{\sigma }_{i+1}\),
2. \({\sigma }_{i}{\sigma }_{j}={\sigma }_{j}{\sigma }_{i}\,{\text{f}}{\rm{\ddot{u}}}\text{r}\,|i-j\Vert \ge 2,\)
3. \({\sigma }_{i}^{2}=(q-1){\sigma }_{i}+q.\)

Die Dimension von H(q, m) ist m!. Für q = 1 ergibt sich \(H(1,m)={\mathbb{C}}[{S}_{m}]\), die Gruppenalgebra der symmetrischen Gruppe von m Elementen.

Die Hecke-Algebra H(q, m) bestimmt die quadratischen Darstellungen der Zopfgruppe B_m von m Zöpfen.

Mit Hilfe einer geeigneten Spur (Ocneanu-Spur) auf der Vereinigung aller H(q, m), m ∈ ℕ, können Knotenpolynome (z. B. das HOMFLY-Polynom, Knotentheorie) definiert werden, die sehr präzise Äquivalenzklassen von Knoten unterscheiden.