Lexikon der Mathematik: Helmholtz-Gleichung
Helmholtzsche Differentialgleichung, eine lineare partielle Differentialgleichung der Form
Setzt man \(0\lt k=\frac{w}{v}\), so beschreibt diese Gleichung einen sich mit der Geschwindigkeit v ausbreitenden Schwingungsvorgang, denn physikalisch entsteht die Helmholtz-Gleichung (in zwei Ortskoordinaten) aus einem Produktansatz für die Gleichung der schwingenden Membran (zweidimensionale Wellengleichung).
Ist u(x, y) eine Lösung dieser Differentialgleichung, so ist \(u(x,y){e}^{i\omega t}\) (mit ω wie oben) eine Lösung der Wellengleichung.
Für k = 0 erhält man die Laplace-Gleichung. Ist k konstant, so setzen sich die Lösungen aus konvergenten Reihen von Kugel- und Zylinderfunktionen zusammen.
Wird an die Lösung u eines Randwertproblems der Helmholtzschen Differentialgleichung für das Außengebiet eines beschränkten Bereiches die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung
Gelegentlich bezeichnet man auch die inhomogene Form von (1), also
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