lautet, zunächst in der algebraischen Formulierung:

Der Körper K sei vollständig bzgl. einer ultrametrischen Bewertung \(x\mapsto |x|\), es bezeichne R seinen Bewertungsring und \({\mathfrak{p}}\)dessen maximales Ideal. Weiter seien ein normiertes Polynom f(x) mit Koeffizienten in R und eine Kongruenz \begin{eqnarray}f(x)\equiv {g}_{0}(x){h}_{0}(x)\quad \text{mod}\,{\mathfrak{p}}\end{eqnarray}mit normierten Polynomen g₀(x) und h₀(x) mit Koeffizienten in R so gegeben, daß die zugehörigen Restklassenpolynome \({\bar{g}}_{0}(x)\)und \({\bar{h}}_{0}(x)\)mit Koeffizienten in R/\({\mathfrak{p}}\)zueinander teilerfremd sind.

Dann gibt es normierte Polynome g(x) und h(x) mit Koeffizienten in R mit \(f(x)=g(x)h(x)\)und \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}g(x)\equiv {g}_{0}(x) & \mathrm{mod}\,{\mathfrak{p}}, & h(x)\equiv {h}_{0}(x) & \mathrm{mod}\,{\mathfrak{p}}.\end{array}\end{eqnarray}

Siehe auch Henselscher Ring.

In der Nomenklatur der Funktionentheorie mehrerer Variabler macht das Henselsche Lemma eine Aussage über die Zerlegung eines monischen Polynoms in Weierstraßpolynome.

\({}_{n}{{\mathscr{O}}}_{n}\)bezeichne die Menge der konvergenten formalen Potenzreihen in n Variablen über ℂ. Sei \(p\in {}_{n}{{\mathscr{O}}}_{0}[Y]\)ein monisches Polynom und \begin{eqnarray}P(0,Y)=\displaystyle \prod _{j=1}^{m}{(Y-{c}_{j})}^{{g}_{j}}\end{eqnarray}die Zerlegung in Potenzen verschiedener Linearfaktoren.

Dann gibt es monische Polynome \({P}_{j}\in {}_{n}{{\mathscr{O}}}_{0}[Y]\), j = 1, …, m, vom Grad g_j, so daß \begin{eqnarray}(i)P=\displaystyle \prod _{j=1}^{m}{P}_{j}\,\,und\,\,(ii){P}_{j}(0,Y)={(Y-{c}_{j})}^{{g}_{j}}.\end{eqnarray}Durch diese Eigenschaften sind die P_j, j = 1, …, m, eindeutig bestimmt, und jedes P_j ist ein Weierstraßpolynom an der Stelle (0, c_j).