nennt man den folgenden, sehr einfachen Beweis des Lemmas von Herglotz (Herglotz, Lemma von).

Differentiation der Gleichung (1) in den Voraussetzungen des Lemmas von Herglotz ergibt \begin{eqnarray}4g\text{'}(2z)=g\text{'}(z)+g\text{'}\left(z+\frac{1}{2}\right)\end{eqnarray} oder, indem man z durch \(\frac{z}{2}\) ersetzt \begin{eqnarray}4g\text{'}(z)=g\text{'}\left(\frac{\pi }{2}\right)+g\text{'}\left(\frac{1}{2}(z+1)\right).\end{eqnarray} Für t ∈ (1, r) setzt man \begin{eqnarray}M:=\mathop{\max }\limits_{z\in [0,t]}|g\text{'}(z)|.\end{eqnarray} Ist z ∈ [0, t], so auch \(\frac{z}{2},\frac{1}{2}(z+1)\in [0,t]\), und es folgt 4M ≥ 2M. Dies ist nur möglich für M = 0. Also gilt g′(z) = 0 für alle z ∈ [0, t], und nach dem Identitätssatz gilt dies für alle z ∈ G. Hieraus folgt, daß g konstant ist.

Der „Clou” bei diesem Beweis ist, daß nach Differentiation der Gleichung (1) auf der linken Seite eine 4 statt einer 2 steht.