eine HermitescheMetrik h auf Higgs-Bündeln (E, φ) (Higgs-Garben)über Kähler-Mannigfaltigkeiten (X, ω) mit folgenderEigenschaft:

Sei \(\nabla \) der zu h gehörige Chern-Zusammenhang.Dann ist \(D=\nabla +\phi +{\phi }^{* }\) ein Zusammenhang auf E. Die Krümmung F dieses Zusammenhanges lie-fert nach Kontraktion mit der Kählerform ω einen schiefhermiteschen Endomorphismus \(\sqrt{-1}K\) des Bündels E. Die Hermite-Einstein-Bedingungist, daß K die Form λId_E mit einer Konstanten \(\lambda \in {\mathbb{R}}\) hat. Auf kompakten Kählermannigfaltigkeiten der Di-mension n ist die Konstante λ durch die Topologiedes Bündels festgelegt: \begin{eqnarray}\lambda =\frac{2\pi {c}_{1}( {\mathcal E} )\cdot {[\omega ]}^{m-1}}{\text{rang}( {\mathcal E} )(n-1)!\text{vol}(X)},\end{eqnarray} wobei [ω] die de Rham-Kohomologieklasse ist, die durch die Kählerklasse repräsentiert wird, und c₁(ϵ) die erste Chernklasse des Bündels ϵ. Dabei wird \({H}^{2n}(X,{\mathbb{R}})\) durch die Orientierung mit Ridentifiziert. Die Gleichung \(K=\lambda Id\) ist die Euler-Lagrange-Gleichung für die Minimierung des Funktionals \(h\mapsto \Vert F{\Vert }^{2}\) (Yang-Mills-Funktional) \begin{eqnarray}\Vert F{\Vert }^{2}=\displaystyle {\int }_{X}Tr(F\wedge * {F}^{* })\frac{{\omega }^{* }}{n!}.\end{eqnarray}

Die Existenz einer solchen Metrik hat die Ungleichung \begin{eqnarray}\left({c}_{2}( {\mathcal E} )-\frac{r-1}{2r}{c}_{1}({ {\mathcal E} }^{2})\right){[\omega ]}^{n-2}\geq 0\end{eqnarray} zur Folge, und aus \begin{eqnarray}{c}_{1}(\varepsilon ){[\omega ]}^{n-1}=(2{c}_{2}(\varepsilon )-{c}_{1}{(\varepsilon )}^{2}){[\omega ]}^{n-2}=0\end{eqnarray} folgt, daß D flacher Zusammenhang (also F = 0) ist. Auf diese Weise ergibt sich also eine sehr fruchtbare Verbindung zwischen der Existenz von Hermite-Einstein-Metriken und Darstellungen der Funda-mentalgruppe von Kählermannigfaltigkeiten.