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Lexikon der Mathematik: Hermite-Interpolation

Interpolationsmethode, bei der eine differenzierbare Funktion durch eine endliche Menge von Werten und Ableitungen eindeutig festgelegt wird.

Die Methode der Hermite-Interpolation ist benannt nach C. Hermite. Sie wird in der Numerischen Mathematik und Approximationstheorie behandelt.

Es sei G = {g0, g1, …, gN} ein System von N + 1 linear unabhängigen genügend oft differenzierbaren reellwertigen Funktionen, definiert auf einem Intervall [a, b] oder einem Kreis T. Weiterhin seien X = {x0, …, xm} eine Menge von m + 1 paarweise verschiedenen Punkten aus [a, b] bzw. T und r0, …, rm natürliche Zahlen, die sog. Vielfachheiten, so daß \begin{eqnarray}\mathop{\sum ^{m}}\limits_{j=0}{r}_{j}=N+1.\end{eqnarray} Das Problem der Hermite-Interpolation hinsichtlich G, X und r0, …, rm besteht nun darin, für reelle Daten cij, i = 0, …, rj − 1, j = 0, …, m, eine eindeutige Funktion \begin{eqnarray}g=\displaystyle \sum _{k=0}^{N}{a}_{k}{g}_{k}\end{eqnarray} mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}{g}^{(i)}({x}_{j})={c}_{i,j},i=0,\ldots, {r}_{j}-1,j=0,\ldots, m,\end{eqnarray} zu finden. Falls für beliebige ci,j stets eine solche Funktion g existiert, so ist das Problem der Hermite-Interpolation hinsichtlich G,X und r0, …, rm lösbar. X heißt in diesem Fall Hermite-Interpolationsmenge (mit Vielfachheiten r0, …, rm) für G.

Die Hermite-Interpolation stellt eine Verallgemeinerung der Lagrange-Interpolation dar. Andererseits kann man die Hermite-Interpolation als Spezialfall der Birkhoff-Interpolation auffassen.

Bei der Hermite-Interpolation spielen strukturelle Eigenschaften des zugrundeliegenden Systems G ein Rolle. Es ist bekannt, daß das Problem der Hermite-Interpolation genau dann für jede beliebige Wahl von X und Vielfachheiten r0, …, rm lösbar ist, wenn G ein erweitertes Tschebyschew- System bildet.

Ein solches System G bilden beispielsweise die Polynome vom Grad N, \begin{eqnarray}G=\{1,x,\ldots, {x}^{N}\}.\end{eqnarray} In diesem Fall läßt sich für jedes vorgegebene X und Vielfachheiten r0, …, rm das Hermite-Polynom g in der Hermite-Darstellung \begin{eqnarray}g(x)=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}\displaystyle \sum _{t=0}^{{r}_{j}-1}{c}_{ij}{l}_{ij}(x),x\in [a,b]\end{eqnarray} angeben. Hierbei sind die Hermite-Fundamental- polynome (Hermite-Polynome) lij, i = 0, …, rj−1, j = 0, …, m, durch die Bedingungen \begin{eqnarray}{l}_{i,j}^{(i)}({x}_{j})=1\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{l}_{i,j}^{({i}_{i})}({x}_{j1})=0\,\text{falls}\,{i}_{i}\ne i\,oder\,{j}_{1}\ne j,\end{eqnarray} eindeutig festgelegt.

Numerisch deutlich stabiler als die HermiteDarstellung ist die Newtonsche Interpolationsformel für g.

Falls G kein erweitertes Tschebyschew-System bildet, so ist das Problem der Hermite-Interpolation hinsichtlich G, X und r0, …, rm nur unter gewissen Zusatzvoraussetzungen an X lösbar. Betrachtet man beispielsweise ein System G von Splinefunktionen, so gilt der Satz von Karlin und Ziegler aus dem Jahr 1966, welcher eine Verallgemeinerung der Aussage von Schoenberg und Whitney für Lagrange-Interpolation mit Splines darstellt. Dieser besagt, daß das Problem der Hermite-Interpolation hinsichtlich G,X und r0, …, rm genau dann lösbar ist, wenn die Punkte von X einer Verteilungsbedingung über [a, b] genügen. Hierbei zählt man die Punkte gemäß deren Vielfachheit.

Einfache Charakterisierungen von Hermite- Interpolationsmengen X dieser Art sind nicht für jedes System G möglich. So weiß man beispielsweise, daß für Splines definiert auf einem Kreis T, sogenannte periodische Splines, eine solche Verteilungsbedingung im allgemeinen nur notwendig, jedoch nicht hinreichend ist.

Für Systeme G von multivariaten Funktionen, d. h. Funktionen von mehreren Veränderlichen, führt das Problem der Hermite-Interpolation auf moderne und komplexe mathematische Fragestellungen, die derzeit (2001) von Approximationstheoretikern untersucht werden. Hierbei sind vor allem Systeme G multivariater Polynome und multivariater Splines von großer Bedeutung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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