die Integral-Transformation \begin{eqnarray}f(n)=HF(x)=\displaystyle {\int }_{\infty }^{\infty }{e}^{-{x}^{2}}{H}_{n}(X)F(x)dx\end{eqnarray} für n = 0, 1, …, wobei H_n(x) die Hermite- Polynome vom Grade n bezeichnen.

Die inverse Transformation ist definiert durch \begin{eqnarray}F(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{f(n)}{{2}^{n}n!}{H}_{n}(x)={H}^{-1}f(n),\end{eqnarray} wenn die Reihe konvergiert.

Die Hermite-Transformation reduziert den Operator \begin{eqnarray}R[F(x)]={e}^{{x}^{2}}\frac{d}{dx}\left[{e}^{{x}^{2}}\frac{d}{dx}F(x)\right]\end{eqnarray} zu einem multiplikativen Operator mittels \begin{eqnarray}HR[F(x)]=-2nf(n).\end{eqnarray}