homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form \begin{eqnarray}{y}^{^{\prime\prime} }-2x{y}^{^{\prime} }+\lambda y=0,\end{eqnarray} mit der starken Singularität \(x=\infty \).

Mit λ = 2n ist für \(n\in {\mathbb{N}}\cup \{0\}\) das Hermite-Polynom \({H}_{n}(x)={(-1)}^{n}{e}^{{x}^{2}}\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}({e}^{-{x}^{2}})\) eine Lösung dieser Gleichung.

Für das reelle Eigenwertproblem (1) mit den Bedingungen y = o(x^−r) für \(x\to \infty \) und 0 < r hinreichend groß sind die λ = 2n Eigenwerte mit den Eigenfunktionen H_n(x).