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Lexikon der Mathematik: Hermitesche Matrix

komplexe quadratische Matrix A, für die gilt: \begin{eqnarray}A=\overline{{A}^{t}}.\end{eqnarray} (At bezeichnet die zu A transponierte Matrix.) Statt Hermitesch sagt man auch selbstadjungiert. Die auf der Hauptdiagonalen einer Hermiteschen Matrix A = (aij) liegenden Elemente aii sind reell, ebenso ihre Eigenwerte. Insbesondere besitzt das charakteristische Polynom von A lauter reelle Koeffizienten; speziell sind Determinante und Spur einer Hermiteschen Matrix reell.

Die Hermiteschen (n × n)-Matrizen repräsentieren bzgl. einer gegebenen Basis auf einem n-dimensionalen Vektorraum V gerade die Hermiteschen Sesquilinearformen (Hermitesche Form).

Eine Hermitesche Matrix A heißt positiv definit (positiv semidefinit), falls die durch A vermittelte Hermitesche Form positiv definit (positiv semidefinit) ist, falls also für alle \(x\ne 0\in {{\mathbb{C}}}^{n}\) gilt: \begin{eqnarray}{x}^{t}A\bar{x}\gt 0\quad ({x}^{t}A\bar{x}\ge 0).\end{eqnarray} Die Hermiteschen Matrizen sind das komplexe Analogon zu reellen symmetrischen Matrizen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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