eine positiv definite Hermitesche Form h auf dem kartesischen Produkt V × V eines komplexen Vektorraums V mit sich.

Hermitesche Metriken lassen sich mit Hilfe von bijektiven komplex-linearen Abbildungen \(\alpha :V\to V\) transformieren. Eine neue Hermitesche Metrik α*h wird durch \begin{eqnarray}{\alpha }^{* }h(X,Y)=h(\alpha (X),\alpha (Y))\end{eqnarray} definiert, und für jede andere Hermitesche Metrik h₁ existiert eine lineare Transformation α mit \({\alpha }^{* }h={h}_{1}\).

In bezug auf die Verknüpfung linearer Abbildungen gilt die Gleichung \begin{eqnarray}(\alpha \circ \beta )^* h={\beta }^{* }({\alpha }^{* }h),\end{eqnarray} wenn \(\beta :V\to V\) eine zweite bijektive lineare Abbildung ist.

Bezeichnet \({ {\mathcal H} }_{n}\) die Menge aller Hermiteschen Metriken auf \({{\mathbb{C}}}^{n}\), so ist daher durch \((\alpha, h)\in \text{GL}(n,{\mathbb{C}})\times { {\mathcal H} }_{n}\to {\alpha }^{* }h\in { {\mathcal H} }_{n}\) eine transitive Wirkung der komplexen linearen Gruppe \(\text{GL}(n,{\mathbb{C}})\) auf \({ {\mathcal H} }_{n}\) gegeben. Ist M_α die Matrix von α bezüglich der Basis \({X}_{1},\ldots, {X}_{n}\), so ist \begin{eqnarray}{H}_{\alpha }={M}_{\alpha }^{\top }H{\overline{M}}_{\alpha }\end{eqnarray} die Matrix von α*h.

Man vergleiche auch Hermitesche positiv definite Form und Hermitesche Struktur.