ein komplexes Analogon eines euklidischen Skalarproduktes bzw. einer Rie- mannschen Metrik,

Hermitesche Strukturen werden sowohl im Zusammenhang mit komplexen Strukturen auf reellen Vektorräumen bzw. komplexen Vektorräumen als auch mit fast komplexen Strukturen auf reellen 2 n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten definiert.

In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Hermiteschen Struktur auf einem komplexen Vektorraum V oder auf einem mit einer komplexen Struktur J versehenen reellen Vektorraum eine positiv definite symmetrische Bilinear-form h : V × V → ℂ, die in bezug die Multiplikation mit der imaginären Einheit i die Bedingung h(iX, iY) = h(X, Y) (bzw. in bezug auf J die Bedingung h(J(X), J(Y)) = h(X, Y)) für alle X, Y ∈ V erfüllt. Daraus folgt \begin{eqnarray}h(iX,X)=h(-X,iX)=-h(iX,X)=0\end{eqnarray} (bzw. \begin{eqnarray}h(J(X),X)=h(-X,J(X))=-h(J(X),X)=0)\end{eqnarray} für alle X ∈ V.

Diese Definition ist gleichwertig mit der einer Hermiteschen Metrik. Ist nämlich \(\tilde{h}\) eine Hermitesche Metrik auf V, so ist ihr Realteil h(X, Y) = Re\((\tilde{h}(X,Y))\) eine Hermitesche Struktur und der Imaginärteil \(\omega (X,Y)=\text{lm}(\tilde{h}(X,Y)\) eine antisymmetrische Bilinearform \(\omega :{V}^{{\mathbb{R}}}\times {V}^{{\mathbb{R}}}\to {\mathbb{R}}\) des V unterliegenden reellen Vektorraumes V^ℝ. Die Form ω ist durch h über die Gleichung \(\omega (X,Y)=h(X,iY)\) bestimmt. Somit ist auch \(\tilde{h}=h+i\omega \) allein durch h bestimmt.

Eine Hermitesche Struktur auf einer Mannigfaltigkeit M ist ein Paar (J, g) bestehend aus einer fast komplexen Struktur J und einer Riemann-schen Metrik g auf M, die mit der fast komplexen Struktur J verträglich ist, wobei Verträglichkeit bedeutet, daß für alle Vektorfelder X, Y auf M die Gleichung g(X, Y) = (J(X), J(Y)) gilt. Ist g₀ eine beliebige Riemannschen Metrik auf M, so ist durch g(X, Y) = g₀(J(X), J(Y)) + g₀(X, Y) eine Hermitesche Metrik gegeben.

Einer Hermiteschen Metrik g auf M ist eine durch \(\Phi (X,Y)=g(X,J(Y))\) definierte alternierende Bilinearform, die fundamentale 2-Form von (J,g), zugeordnet. Das äußere Differential \(d\Phi \) von \(\Phi \) ist die durch \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}3d\Phi (X,Y,Z)= & X\Phi (Y,Z)+Y\Phi (Z,X)\\ & +Z\Phi (X,Y)-\Phi ([X,Y],Z)\\ & -\Phi ([Z,X],Y)-\Phi ([Y,Z],X)\end{array}\end{eqnarray} definierte 3-Linearform. In dieser Formel wird mit [X, Y] der Kommutator der Vektorfelder bezeichnet und mit \(X\Phi (Y,Z)\) die Richtungsableitung der differenzierbaren Funktion \(\Phi (Y,Z)\) in bezug auf das Vektorfeld X. Φ heißt geschlossen, wenn \(d\Phi (X,Y,Z)=0\) für alle Vektorfelder X, Y, Z gilt.

Ist ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang von g, so erfüllen die vier Größen \(J,g,\Phi \) und ∇ die Gleichung \begin{eqnarray}4g(({\nabla }_{X}J)(Y),Z)=6d\Phi (X,J(Y),J(Z))-\\ 6d\Phi (X,Y,Z)+g(N(J,J)(Y,Z),J(X)).\end{eqnarray} Darin sind X, Y, Z drei beliebige Vektorfelder, ∇_xJ die durch \({\nabla }_{X}(J(Y))=({\nabla }_{X}J)(Y)+J({\nabla }_{X}Y)\) als Feld von linearen Abbildungen des Tangential-bündels in sich gegebene kovariante Ableitung und N(J, J)(Y, Z) der Nijenhuis-Tensor von J. ∇ ist genau dann ein fast komplexer Zusammenhang für J, wenn \({\nabla }_{X}J=0\) gilt. Als Folgerung aus der obigen Gleichung ergibt sich:

Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:

• Der Levi-Civita-Zusammenhang der Hermiteschen Metrik g ist fast komplex.
• Der Nijenhuis-Tensor N(J, J)(Y, Z) von J ist gleich Null, und die fundamentale 2-Form Φ von (J, g) ist geschlossen.