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Lexikon der Mathematik: Hermitesche Varietät

eine Menge von Punkten eines Desarguesschen projektiven Raumes, die in homogenen Koordinaten beschrieben wird durch die Gleichung \begin{eqnarray}{x}_{0}\bar{{x}}_{0}+{x}_{1}\bar{{x}}_{1}+\cdots +{x}_{n}\bar{{x}}_{n}=0\end{eqnarray} Hierbei ist \(\bar{\cdot }\) ein Körperautomorphismus der Ordnung Zwei.

Im komplexen projektiven Raum ist beispielsweise \(\bar{\cdot }\) die komplexe Konjugation.

In endlichen projektiven Räumen gibt es Hermitesche Varietäten nur dann, wenn die Ordnung eine Quadratzahl q2 ist. In diesem Fall ist \(\bar{\cdot }\) der Automorphismus \(x\mapsto \bar{x}={x}^{q}\).

Hermitesche Varietäten sind eine Art von Polarräumen. Ist n die Dimension des projektiven Raumes, so ist die maximale Dimension eines in der Varietät enthaltenen projektiven Unterraumes gleich \(\frac{n-1}{2}\) (falls n ungerade) bzw. \(\frac{n-2}{2}\) (falls n gerade).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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