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Lexikon der Mathematik: Hesse-Matrix

zu einer an der Stelle \(x=({x}_{1}\ldots {x}_{n})\in G\) dort zweimal partiell differenzierbaren Funktion \(f:G\to {\mathbb{R}}\), wobei \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) offen sei, die Matrix \begin{eqnarray}{H}_{f}(x)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{1}^{2}} & \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{1}} & \cdots & \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{n}\partial {x}_{1}}\\ \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{1}} & \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{2}^{2}} & \cdots & \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{n}\partial {x}_{2}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{2}} & \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{n}} & \cdots & \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial {x}_{n}^{2}}\end{array}\right).\end{eqnarray} Ist fC2(G), so ist Hf(x) nach dem Satz von Schwarz für alle xG symmetrisch, und aus dem Satz von Taylor erhält man für xG, a = (gradf)(x) und A = Hf(x) \begin{eqnarray}f(x+\xi )=f(x)+\langle a,\xi \rangle +\frac{1}{2}\langle \xi, A\xi \rangle +o(\Vert \xi {\Vert }^{2})\end{eqnarray} für \(\xi \in {{\mathbb{R}}}^{n}\) mit \(x+\xi \in G\).

Gilt in dieser Situation f′(x) = 0, so liefert die Hesse-Matrix ein hinreichendes Extremalkrite- rium: Ist Hf(x) positiv bzw. negativ definit, so hat f an der Stelle x ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum. Ist Hf(x) indefinit, so hat f an der Stelle x kein lokales Extremum.

Im Fall n = 2 läßt sich die Definitheit von Hf(x) bequem mit Hilfe der Hesse-Determinante unter-suchen. Man beachte: \(f\text{'}(x)=0\) und die positive bzw. negative Semidefinitheit von \({H}_{f}(x)\) sind notwendige Voraussetzungen für ein lokales Minimum bzw. Maximum, jedoch kann aus f′(x) = 0 und der Semidefinitheit von Hf(x) nichts über das Extre-malverhalten von f an der Stelle x geschlossen werden, wie die Funktionen \({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{f}_{1}(x,y)={x}^{2}+{y}^{4},\\ {f}_{2}(x,y)={x}^{2},\\ {f}_{3}(x,y)={x}^{2}+{y}^{3}\end{array}\end{eqnarray} für \(x,y\in {\mathbb{R}}\) zeigen. Es gilt \(f{\text{'}}_{1}(0,0)=f{\text{'}}_{2}(0,0)=f{\text{'}}_{3}(0,0)=0\) = 0, und \begin{eqnarray}{H}_{{f}_{1}}(0,0)={H}_{{f}_{2}}(0,0)={H}_{{f}_{3}}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right)\end{eqnarray} ist positiv semidefinit. An der Stelle (0, 0) hat f1 ein strenges lokales Minimum, f2 ein nicht-strenges lokales Minimum und f3 kein Extremum.

Die Hesse-Matrix liefert auch ein Konvexitätskriterium: Ist \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) offen und konvex, so ist \(f\in {C}^{2}(G)\) genau dann konvex, wenn \({H}_{f}(x)\) für alle \(x\in G\) positiv semidefinit ist. Ist Hf(x) für alle \(x\in G\) positiv definit, so ist f streng konvex. Jedoch folgt aus strenger Konvexität nicht die positive Definitheit, wie man schon im Speziallfall n = 1 an der Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit f(x) = x4 durch Betrachten der Stelle x = 0 sieht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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