Verallgemeinerung des Null-Eins-Gesetzes von Kolmogorow (Kolmogorow, Null-Eins-Gesetz von) für Folgen unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen.

Ist (X_n)_n∈ℕ eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) mit Werten in ℝ, so heißt ein Ereignis A = {(X_n)_n∈ℕ ∈ B}, wobei B eine Borelsche Menge im Folgenraum ℝ^∞ bezeichnet, ein symmetrisches Ereignis oder eine permutierbare Menge, wenn für jede endliche Permutation π die Mengen A und {(X_π(n))_n∈ℕ ∈ B} identisch sind. Dabei nennt man eine bijektive Abbildung π auf ℕ endliche Permutation, wenn π(k) = k für alle bis auf endliche viele k ∈ ℕ gilt. Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage lautet nun:

Sei (X_n)_n∈ℕeine Folge unabhängiger identisch verteilter reeller Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\)und A ein symmetrisches Ereignis. Dann gilt P(A) = 0 oder P(A) = 1.

Die Menge \({\mathfrak{S}}\subseteq {\mathfrak{A}}\) der symmetrischen Ereignisse ist eine σ-Algebra und umfaßt die σ-Algebra der terminalen Ereignisse der Folge (σ(X_n))_n∈ℕ der von den X_n erzeugten σ-Algebren. Hieraus erkennt man, daß das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage die Aussage des Gesetzes von Kolmogorow unter der stärkeren Voraussetzung der identischen Verteilung auf eine größere Klasse von Ereignissen ausdehnt.