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Lexikon der Mathematik: Hilbert-Schmidt-Operator

spezieller Typ eines kompakten Operators zwischen Hilberträumen.

Sei T : HK ein kompakter Operator zwischen Hilberträumen H und K mit der SchmidtDarstellung (kompakter Operator) \begin{eqnarray}{T}_{x}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{s}_{n}\langle x,{e}_{n}\rangle {f}_{n}.\end{eqnarray}

Dann heißt T ein Hilbert-Schmidt-Operator, wenn \begin{eqnarray}{\Vert T\Vert }_{\text{HS}}={\left(\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{s}_{n}^{2}\right)}^{1/2}\lt \infty .\end{eqnarray}

Dieser Ausdruck definiert eine Norm, die HilbertSchmidt-Norm, auf dem Vektorraum HS(H, K) aller Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Ist {ϕi : iI} eine Orthonormalbasis von H, so gilt \begin{eqnarray}{\Vert T\Vert }_{\text{HS}}={\left(\displaystyle \sum _{i \in I}^{\infty }{\Vert T{\varphi }_{i}\Vert }^{2}\right)}^{1/2}.\end{eqnarray}

Die Norm ‖ · ‖HS leitet sich vom Skalarprodukt \begin{eqnarray}{\langle T,S\rangle }_{\text{HS}}=\displaystyle \sum _{i\in I}\langle T{\varphi }_{i},S{\varphi }_{i}\rangle =\text{tr}(S* T)\end{eqnarray} ab, sodaß HS(H, K) ein Hilbertraum ist. Dieser kann mit dem Tensorprodukt \(H{\hat{\otimes }}_{2}K\) identifiziert werden. Die Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden den Spezialfall p = 2 der sog. Schatten-von NeumannKlassen.

Die Eigenwertfolge (λn(T)) eines HilbertSchmidt-Operators T : HH (Eigenwert eines Operators) ist quadratisch summierbar; das folgt aus der Weyl-Ungleichung.

Ist H = L2(μ) und K = L2(v), so ist T : HK genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator, wenn T eine Darstellung als Integraloperator \begin{eqnarray}(Tf)(s)=\displaystyle \int k(s,t)f(t)\space d\mu (t)\end{eqnarray} mit kL2(μv) besitzt.

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, 2. Auflage 1980.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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