eine Integral-Transformation f ↦ F für eine Funktion f ∈ L¹(ℝ), definiert durch \begin{eqnarray}F(x):=\frac{1}{\pi }\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\displaystyle \underset{\varepsilon }{\overset{\infty }{\int }}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}dt.\end{eqnarray}

Sei ϕ : ℂ → ℂ holomorph, f : ℝ → ℝ, x ↦ Re ϕ(x) und g : ℝ → ℝ, x ↦ − Im ϕ(x). Ist f ∈ L² (ℝ), dann gilt auch g ∈ L²(ℝ), und g ist die Hilbert-Transformierte von f ⋅ f erhält man durch die inverse Hilbert-Transformation aus g: \begin{eqnarray}f(x)=-\frac{1}{\pi }\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\displaystyle \underset{\varepsilon }{\overset{\infty }{\int }}\frac{g(x+t)-g(x-t)}{t}dt.\end{eqnarray}