in der Quantenfeldtheorie der Eichfelder (Eichfeldtheorie) Zustandsraum mit einer quadratischen Form, die sowohl positive wie auch negative Werte annehmen kann.

Der sprachliche Widersinn (Hilbertraum) ist vergleichbar dem Gebrauch des Begriffs Metrik in der Relativitätstheorie.

In Eichfeldtheorien existiert keine eineindeutige Abbildung zwischen dem Geschwindigkeitsraum (zeitliche Ableitungen der Feldgrößen, z. B. des Potentials A_μ der Elektrodynamik A_μ,0) und dem<?PageNum _407 Raum der kanonischen Impulse (in der Elektrodynamik \begin{eqnarray}{\pi }^{\mu }=\frac{\partial {\mathfrak{L}}}{\partial {A}_{\mu ,0}},\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{\mathfrak{L}}=-(1/4){\eta }^{\varrho \sigma }{\eta }^{\alpha \beta }{F}_{\varrho \alpha }{F}_{\sigma \beta }\end{eqnarray} die Lagrange-Dichte des eletromagnetischen Feldes ist). Beispielsweise gilt in der Elektrodynamik π⁰ = 0. Damit ist keine Anwendung der kanonischen Quantisierungsvorschriften möglich.

Das weitere Vorgehen zur Umgehung des geschilderten Problems wird am Beispiel der Elektrodynamik skizziert.

Die Lagrangedichte wird durch \begin{eqnarray}{\mathfrak{L}}=-(1/4){\eta }^{\varrho \sigma }{\eta }^{\alpha \beta }{F}_{\varrho \alpha }{F}_{\sigma \beta }-\frac{\lambda }{2}{(\partial \cdot A)}^{2}\end{eqnarray} ersetzt, wobei \begin{eqnarray}\partial \cdot A:={\eta }^{\alpha \beta }{\partial }_{\beta }{A}_{\alpha }\end{eqnarray} und λ eine beliebige Konstante ist. Damit ist dann auch π⁰ ≠ 0.

Jetzt lauten die Feldgleichungen \begin{array}{l}\square {A}_{\mu }-(1-\lambda ){\partial }_{\mu }(\partial \cdot A)=0,\\ \square (\partial \cdot A)=0.\end{array}

In der klassischen Elektrodynamik führen entsprechende Grenzbedingungen auf ∂ · A = 0, und somit erhält man die Maxwellsche Theorie in der Lorentz-Eichung. Die Lorentz-Eichung steht als Operator-Gleichung im Widerspruch zu dem Teil \begin{eqnarray}[{\hat{A}}_{\mu }(t,{\mathfrak{x}}),\space \space {\hat{\pi }}^{v}(t,{\mathfrak{y}})]=i{\delta }_{\mu }^{v}{\delta }^{3}({\mathfrak{x}}-{\mathfrak{y}})\end{eqnarray} der kanonischen Vertauschungsrelationen. Sie wird daher nicht als Operatorgleichung, sondern in abgeschwächter Form als Einschränkung des Zustandsraums auf physikalische Zustände gefordert: Das Potential ist ein Vektor mit vier Komponenten. Er wird zerlegt in zwei Komponenten senkrecht zur Bewegungsrichtung des Photons (transversale Komponenten). Das sind die eigentlich physikalischen Freiheitsgrade. Dazu kommt eine Komponente in Richtung der Bewegung (longitudinale Komponente) und eine Komponente in Zeitrichtung (skalare Komponente). Der Übergang zur Quantenphysik besteht nun in der Einführung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für diese Komponenten des elektromagnetischen Feldes.

Die Anwendung des Erzeugungsoperators für die skalare Komponente auf den Vakuumzustand (Fock-Raum) führt auf einen Zustand mit negativem Normquadrat. Dagegen haben die Zustände mit transversalen Komponenten positive Normquadrate.