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Lexikon der Mathematik: Hilbertsche Probleme

H. -J. Schmidt

David Hilbert, geboren am 23.1.1862 in Königsberg und gestorben am 14.2.1943 in Göttingen, hielt im Jahre 1900 auf dem „Internationalen Mathematikerkongreß zu Paris“ einen Vortrag, dessen Text im Jahr darauf im Archiv für Mathematik und Physik, 3. Reihe, Band 1, Seiten 44–63 und 213–237 unter dem Titel

Mathematische Probleme

publiziert wurde; hier beziehen wir uns auf den Wiederabdruck [2]. Neben allgemeinen Überlegungen zur Entwicklung der Mathematik – die ihrerseits auch viel zitiert werden – listete er dort 23 ungelöste Probleme auf, von denen er beispielhaft annahm, daß Aufgaben dieses Typs die Mathematik des neuen Jahrhunderts prägen werden. In der Einleitung nennt er u. a. die Frage, ob es unendlich viele Primzahlen der Form 2n + 1 gibt.

Hier sollen nun sowohl die Jahrhundertrede 1900 als auch Vorläufer beschrieben sowie eine Problemliste 2000 aufgestellt werden.

1. Die Jahrhundertrede 1900

Die von Hilbert formulierten 23 Probleme lauten (die Überschriften sind wörtlich aus dem Original übernommen, der Text dazu ist hier neu formuliert):

1. Cantors Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums.

Dieses Problem besteht aus zwei Fragen, die beide inzwischen gelöst sind, jedoch auf unerwartete Weise.

Erstens geht es um die Frage, ob es eine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwar kleiner als die des Kontinuums (also der Menge der reellen Zahlen), aber größer als die der Menge der natürlichen Zahlen ist. Die Kontinuumshypothese besagt, daß es solche Mengen nicht gibt. Dabei heißen zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine eineindeutige Zuordnung zwischen ihren Elementen gibt; die Mächtigkeit< ?PageNum _408 der Menge A ist kleiner als die Mächtigkeit der Menge B, wenn A zwar zu einer Teilmenge von B, nicht aber zu B selbst gleichmächtig ist. Das verblüffende an der Antwort ist, daß, obwohl die Frage eine klare Entscheidungsfrage zu sein scheint, die Antwort nicht durch „ja“ oder „nein“ ausgedrückt werden kann. Es gilt: Die Kontinuumshypothese ist unabhängig von den übrigen Axiomen der Mengenlehre, d.h., man kann wahlweise die Kontinuumshypothese oder auch deren Gegenteil als Axiom benutzen.

Zweitens geht es um die Frage, ob sich jede Menge wohlordnen läßt. Dabei heißt eine Menge wohlgeordnet, wenn jede ihrer Teilmengen ein kleinstes Element enthält. Inzwischen weiß man, daß diese Frage zum Auswahlaxiom der Mengenlehre äquivalent ist.

2. Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome

Hilbert schreibt: „Ich bin nun überzeugt, daß es gelingen muß, einen direkten Beweis für die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome zu finden … “, jedoch ist dies ein Irrtum, vielmehr konnte inzwischen nachgewiesen werden, daß bei Axiomensystemen ab einer bestimmten Komplexitätsstufe (und die Arithmetik der reellen Zahlen gehört schon dazu) generell keine Widerspruchfreiheitsbeweise mehr möglich sind. Im Gegensatz dazu gilt z.B.: Die Axiome der Gruppentheorie sind widerspruchsfrei. Diese Tatsache ist schon im 19. Jahrhundert bewiesen worden.

3. Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe

Hilbert vermutete, daß es möglich sein müsse, „zwei Tetraeder mit gleicher Grundfläche und von gleicher Höhe anzugeben, die sich in keiner Weise in kongruente Tetraeder zerlegen lassen“.

Diese Vermutung ist bereits im Jahr 1900 bewiesen worden, der entsprechende Hinweis findet sich in einer Fußnote von [2], Seite 202.

Im Gegensatz dazu gilt in der Geometrie der Ebene: Flächengleiche n-Ecke in der Ebene lassen sich stets durch endlich viele gerade Schnitte und anschließendes kongruentes Verschieben der Teile ineinander überführen.

4. Problem von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte

Anders als die bisher genannten Probleme ist dieses 4. Problem kein Einzelproblem, sondern es ist eine Anregung, geometrische Axiomensysteme unter dem Gesichtspunkt von Variationsproblemen zu behandeln.

Speziell geht es darum, die im Titel genannte Eigenschaft mit der Dreiecksungleichung (die

Summe zweier Seiten im Dreieck ist stets größer als die dritte Seite) in Verbindung zu bringen.

5. Lies Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen Hierbei geht es um die Frage, ob die Notwendigkeit besteht, bei der Definition der Lie-Gruppe die Differenzierbarkeit zu fordern, oder ob diese aus den übrigen Axiomen bereits gefolgert werden kann. Die Aufgabe ist heute gelöst, es gilt: Es genügt, Stetigkeit vorauszusetzen, und es folgt Analytizität.

6. Mathematische Behandlung der Axiome der Physik

Nach dem Vorbild der Axiomatisierung der Geometrie sollen alle physikalischen Theorien mit mathematischer Strenge axiomatiseirt werden. Hilbert schreibt: „Auch wird der Mathematiker, wie er es in der Geometrie getan hat, nicht bloß die der Wirklichkeit nahekommenden, sondern überhaupt alle logisch möglichen Theorien zu berücksichtigen haben … “.

Dieses Problem stellt sich naturgemäß stets von Neuem, wenn neue physikalische Theorien aufgestellt werden.

7. Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen

Zwar waren im 19. Jahrhundert die Transzendenz von ∈ und n bewiesen worden, es fehlte aber noch an systematischen Einsichten darüber, welche Klassen von Zahlen transzendent sind.

Hilbert vermutet, daß z. B. sin(π · z) für irrational algebraisches z stets transzendent ist; und der von ihm beschriebene Problemkreis ist auch heute noch nicht vollständig gelöst.

8. Primzahlprobleme

Es wird u. a. gefragt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, das heißt, Primzahlpaare, deren Differenz 2 beträgt.

9. Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper

Hier wird die Aufgabe gestellt, das Gaußsche Reziprozitätsgesetz auf beliebige Zahlkörper zu erweitern.

10. Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung

Hilbert formuliert: „Man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittels einer endlichen Zahl von Operationen entscheiden läßt, ob eine Gleichung in ganzen Zahlen lösbar ist.“

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Zu solch algorithmentheoretischen Fragestellungen ist in den vergangenen Jahrzehnten in der Informatik ein deutlicher Fortschritt erzielt worden.

11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlkoeffizienten

Dieses Problem ist eine Spezialisierung des 10. Problems auf quadratische Gleichungen mit beliebig vielen Variablen.

12. Ausdehnung des Kroneckerschen Satzes über Abelsche Körper auf einen beliebigen algebraischen Rationalitätsbereich

Der Satz von Kronecker, daß jeder abelsche Zahlkörper im Bereich der rationalen Zahlen durch Zusammensetzung aus Körpern von Einheitswurzeln entsteht, soll verallgemeinert werden.

13. Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung 7. Grades mittels Funktionen von nur 2 Argumenten

Es sei f von x, y und z abhängig. Es soll geprüft werden, ob die Gleichung \begin{eqnarray}{f}^{7}+x{f}^{3}+y{f}^{2}+zf+1=0\end{eqnarray} mit Hilfe beliebiger stetiger Funktionen von nur zwei Argumenten vollständig gelöst werden kann.

14. Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Funktionensysteme

Es soll das Hurwitz-Kriterium von 1897 verallgemeinert werden, das unter bestimmten Voraussetzungen eine Auflistung von Invarianten eines vorgegebenen Funktionensystems ermöglicht.

15. Strenge Begründung von Schuberts Abzählungskalkül

Hier geht es um ein Verfahren zur effektiven Bestimmung der Vielfachheit von Lösungen algebraischer Gleichungen und deren geometrische Interpretation.

16. Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen

Es geht u. a. um die Frage nach der Maximalzahl und Lage von Poincaréschen Grenzzyklen von nichtlinearen Differentialgleichungen. In den vergangenen 20 Jahren ist auf diesem Gebiet unter der Überschrift „Chaostheorie“ bzw. „nichtlineare Dynamik“ erheblicher Fortschritt erzielt worden.

17. Darstellung definiter Formen durch Quadrate

Hilbert fragt, „ob nicht jede definite Form als Quotient von Summen von Formenquadraten dargestellt werden kann.“

18. Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern

Es geht um das Problem, den n-dimensionalen euklidischen Raum lückenlos mit kongruenten Polyedern auszufüllen, und um eine Klassifikation dieser Möglichkeiten.

19. Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?

Hier gibt es inzwischen Gegenbeispiele.

20. Allgemeines Randwertproblem

Dies Problem ist eine Verallgemeinerung von Problem 19: Es sollen Randbedingungen so gefunden werden, daß jedes reguläre Variationsproblem genau eine Lösung besitzt.

21. Beweis der Existenz linearer DifferentialgleichungenmitvorgeschriebenerMonodromiegruppe Zu vorgegebenem Charakter der Singularitäten soll eine zugehörige Differentialgleichung gefunden werden.

22. Uniformisierung analytischer Beziehungen mittels automorpher Funktionen

Hier geht es um Systeme von Gleichungen, die die Eigenschaft haben, daß zwischen zwei der Variablen eine algebraische Beziehung besteht.

23. Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung

Dies ist in der theoretischen Physik unter der Überschrift „Feldtheorie“ gründlich behandelt worden. Das von Hilbert beschriebene Problem würde man heute so beschreiben: Zu vorgegebener Wirkungsfunktion finde man diejenigen Feldkonfigurationen, bei denen die Wirkung minimal wird. Alle heute ernsthaft in der Physik behandelten Feldtheorien sind auf diesem Wirkungsprinzip aufgebaut.

2. Vorläufer

Das wohl prägendste Problem der Mathematik war die Quadratur des Kreises. Es lautet: „Man gebe eine Konstruktion an, um zu einem gegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat zu finden.“ Dazu liest man in [3]: „Da das Gesetz, nach welchem die Glieder der verschiedenen Reihen, welche man zu diesem Zwecke anwenden kann, offenbar ist, so kann man mit Recht sagen, daß die Quadratur des Kreises im analytischen Sinne gefunden sey. Eine geometrische Construction ist freylich noch nicht entdeckt, und scheint schwerlich gefunden werden zu können.“

In heutiger Sprechweise lautet dies: Die Quadratur des Kreises wird auf die algebraischen Eigenschaften< ?PageNum _410 der Zahl π zurückgeführt, und eine Folge rationaler Zahlen, die gegen π konvergiert, löst das Problem zwar analytisch genau, geometrisch jedoch nur „mit beliebiger Genauigkeit“, aber nicht exakt. Daß die exakte geometrische Konstruktion tatsächlich nicht möglich ist, folgt aus der Transzendenz von π, die dem Autor von [3] natürlich noch nicht bekannt war. Mit dem Beweis der Tran-szendenz von π durch F. Lindemann im Jahre 1882 ist das Problem der Quadratur des Kreises endgültig gelöst, und zwar dadurch, daß die Unmöglichkeit der Quadratur streng bewiesen wurde.

Drei weitere berühmte Probleme, der „Große Fermat“, das Problem der dichtesten Kugelpackung und der Vierfarbensatz gelten als im 20. Jahrhundert gelöst. Der Große Fermat besagt: Es gibt keine Lösung der Gleichung xn + yn = zn in natürlichen Zahlen mit n ≥ 3 (Fermatsche Vermutung). Das Problem der dichtesten Kugelpackung besteht in folgendem: Wie muß eine Menge gleichgroßer Kugeln im Raum angeordnet werden, daß im Grenzwert großer Volumina eine möglichst große Zahl von Kugeln pro Volumeneinheit überlappungfrei gelagert werden kann? Das lange bekannte sechsstrahlige versetzte Bienenwabenmuster hat sich schließlich als tatsächlich dichteste Packung erwiesen. Der Vierfarbensatz besagt: Jede ebene Landkarte läßt sich mit vier Farben so färben, daß benachbarte Länder stets unterschiedlich gefärbt sind.

3. Eine Problemliste 2000

Ein gutes mathematisches Problem

– hat die Form einer Entscheidungsfrage,

– läßt sich kurz formulieren,

– benutzt nur allgemein bekannte Begriffe,

– und ist nur schwer zu beantworten.

Hier sollen nun drei konkrete und sieben allgemeine Probleme aufgelistet werden, die aus Sicht des Verfassers in der Mathematik im 21. Jahrhundert eine Rolle spielen sollten. Die 3 konkreten Probleme stammen aus Algebra, Analysis und Geometrie.

1. Goldbachsche Vermutung:

Jede gerade Zahl ≥ 6 ist Summe von zwei ungeraden Primzahlen. (Goldbach-Probleme).

2. Das aperiodisch oszillierende Weltmodell

Sei a(t) der von der kosmischen Zeit t abhængige kosmische Skalenfaktor, auch „Weltradius“ genannt; wir setzen also stets a > 0 voraus, und wenn a → 0 bei endlichem Wert t auftritt, spricht man vom „Urknall“. Die Materie werde vereinfacht durch ein einzelnes Skalarfeld φ modelliert. Dieses Skalarfeld verbindet eine als zeitabhängig anzunehmende kosmologische Konstante Λ mit der Materie des Universums. Wählt man zudem die Maßeinheiten so, daß a und φ dimensionslos sind und das Skalarfeld die Masse 1 hat, kann die Dynamik eines räumlich geschlossenen Friedmannschen Weltmodells durch folgende beiden Gleichungen beschrieben werden: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{{d}^{2}\phi }{d{t}^{2}}+\frac{3}{a}\frac{da}{dt}\frac{d\phi }{dt}+\phi =0, \end{array}\end{eqnarray} die Wellengleichung für das Skalarfeld, sowie \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{1}{{a}^{2}}\left [{\left(\frac{da}{dt}\right)}^{2}+1\right]={\phi }^{2}+{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^{2}, \end{array}\end{eqnarray} die wesentliche Komponente der Einsteinschen Feldgleichung. Dieses System von zwei nichtlinea-ren gewöhnlichen Differentialgleichungen hat auch unabhängig von der Kosmologie interessante topologische Eigenschaften, und ist – trotz der Einfachheit des Systems – noch voll von ungelösten Fragen. Beispiel: Man kennt zwar zeitlich periodische Lösungen, es ist aber noch unbekannt, ob ein unendlich altes Universum möglich ist, das kein periodisch oszillierendes Modell darstellt. In der Sprache dieser Gleichungen lautet diese Frage:

Gibt es eine Lösung (a(t), φ(t)) des Systems (1, 2), die für alle t ∈ (−∞, +∞) definiert ist und dort überall a > 0 erfüllt, bei der aber a(t) keine periodisch von t abhängige Funktion ist?

3. Gibt es eine perfekte Zerlegung eines konvexen Fünfecks?

Eine Zerlegung einer ebenen Figur heißt perfekt, wenn alle Teile zwar ähnlich, aber inkongruent sind. Eine perfekte Zelegung eines Quadrats in Quadrate ist möglich, und zwar benötigt man dazu mindestens 21 Teilquadrate. Für die perfekte Zelegung eines Rechtecks in Quadrate benötigt man mindestens 9 Quadrate, man vergleiche hierzu die Abbildung.

Für n-Ecke mit n ≥ 6 gibt es keine perfekte Zerlegung, für Dreiecke und Vierecke ist das Problem gelöst; es bleibt noch offen, wie es sich mit 5-Ecken verhält (zitiert nach [4], Seite 178).

4. Kanonisierung der Mathematik

„Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen dieser Wissenschaft begründet.“ ([2], Seite 329). Um sie entsprechend zu kanonisieren, sind folgende Schritte notwendig:

  1. Standardbegriffe festlegen, deren Kenntnis jedem zuzumuten ist.
  2. Jede weitere Begriffsbildung muß sich, evtl. in mehreren Stufen, auf Begriffe gemäß Punkt a) zurückführen lassen.
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  4. Jede Aussage muß sich als Aussage mit Begriffen aus Punkt a) und b) formulieren lassen.
  5. Eine Aussage gilt erst dann als bewiesen, wenn sie mit einem Theorembeweiser als gültig erwiesen ist. Ein Theorembeweiser ist ein Programm, das nur zulässige logische Schritte verwendet.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Hilbertsche Probleme
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Zerlegung eines Rechtecks 33 mal 32 in 9 verschieden große Quadrate.

Es gibt eine Tendenz in der Mathematik von der Logarithmentafel über die Formeltafel hin zur Algorithmenliste und künstlichen Intelligenz. Im Ziel gibt es Parallelen zur Suche der Humanbiologen nach dem menschlichen Genom. Wer Zählstäbchen als zulässige Beweismethode für die Addition natürlicher Zahlen akzeptiert, muß in der Konsequenz auch künstliche Intelligenz als mathematisches Beweismittel akzeptieren.

5. Freiheit der Forschung

Die Freiheit der Forschung beinhaltet auch die Freiheit in der Begriffsbildung, d.h., Spezialbegriffsdefinitionen sind dem jeweiligen Forscher zu überlassen. Ebenso wird in jeweils allen Spezialdisziplinen stets eine Liste ungelöster Probleme zur Weiterarbeit anregen. Jedoch darf diese Tendenz nicht dahin führen, daß einzelne Spezialdisziplinen den Charakter von Geheimwissenschaften erlangen.

Das Kreative an der Mathematik besteht u. a. darin, jeweils problembezogen sachgemäße Fachbegriffe einzuführen. Beispiel: Die Einführung der imaginären Zahlen ermöglichte es, den Fundamentalsatz der Algebra sehr einfach zu formulieren.

Heute besteht ein Problem darin, Klassen von speziellen Funktionen zu ermitteln, die bestimmte Abgeschlossenheitseigenschaften haben. Die aus den Standardfunktionen (inklusive sin und log), aus den vier Grundrechenarten und Substitution erzeugte Funktionenalgebra hat bekanntlich den Mangel, daß es keinen Algorithmus gibt, der zu vorgegebener Funktion entscheiden kann, ob diese identisch gleich Null ist.

6. Universalitätseigenschaften

Von der Formelliste über die allgemeine Integralformel bis hin zur Weltformel. Zu letzterer schreibt der Physiknobelpreisträger Steven Weinberg in [1]: „I am not even sure that there is such a thing as a set of simple, final, underlying laws of physics. Nonetheless I am quite sure that it is good for us to search for them.“ Und ohne gründliche Mathematik dürfte die Suche nach der Weltformel ziemlich aussichtslos sein. Abgesehen von dieser Weltformeldiskussion ist es stets ein wichtiges Ziel, innerhalb eines festen Systems eine Vollständigkeit in der Klassifikation zu erzielen, z.B: Die endlichen einfachen Gruppen lassen sich klassifizieren, „die Universalität der Einsteinschen Gravitationsfeldgleichung“ bezeichnet die Tatsache, daß sich eine große Klasse von Gravitationstheorien als zur Einsteinschen Theorie äquivalent herausgestellt hat.

7. Pfade im Dickicht der Beliebigkeit schlagen

Es ist oft ein Problem für sich, aus einem allgemeine Theorem heraus sinnvolle Spezialfälle zu finden. Dazu benötigt man handhabbare Begriffe, z. B. ist der „seltsame Attraktor“ in der Chaostheorie eine zwar interessante, aber schlecht handhabbare Begriffsbildung.

Beispiel: Es ist oft schwierig, systematisch brauchbare Ansätze zu finden, z. B. zur Lösung unterbestimmter Systeme von Differentialgleichungen. Eichfreiheitsgrade sind dabei so auszunutzen, daß die Lösungen in geschlossener Form ausgedrückt werden können. Das deutsche Wort Ansatz in dieser Bedeutung hat übrigens auch Eingang in die englische und russische Sprache gefunden.

8. Modellierbarkeit für außermathematische Disziplinen

Es ist systematisch zu untersuchen, wann physikalische Theorien untereinander äquivalent sind, und es ist zu klären, wann welche dieser äquivalenten Theorien für die Anwendung am geeignetsten ist. Anders gesagt: Das Relativitätsprinzip bzw. Kovarianzprinzip der Relativitätstheorie ist dahingehend zu verallgemeinern, daß nicht nur Raum und Zeit, sondern auch Felder aller Art in die Transformationsformeln einbezogen werden.

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9. Definitionen so wählen, daß Fehlschlüsse möglichst unwahrscheinlich werden

Dazu sind Trugschlußanalysen vorzunehmen und die Robustheit von Verfahren zu prüfen. Sprach-probleme müssen systematisch analysiert werden, Beweisstrategien, deren Methodik und Nachvollziehbarkeit müssen objektiviert werden.

10. Mathematik als Geisteswissenschaft verstehen Es gibt auch Ästhetik, Kunst und Philosophie in der Mathematik, und es bedarf einer klaren Abgrenzung von der Naturwissenschaft, um Fehler, die aus Kompetenzüberschreitung folgen, zu vermeiden. Ob ein Ergebnis als mathematisches Ergebnis anzusprechen ist, hängt nicht vom Publikationsorgan und nicht von der Dienstanschrift des Forschers ab, sondern ist strukturell aus dem Ergebnis heraus zu ermitteln.

Anmerkung der Redaktion: Zu einigen der o. g. Hilbertschen Probleme findet man im vorliegenden Lexikon – alphabetisiert nach der Nummer des Problems – noch weitergehende Informationen.

Literatur

[1] Feynman, R.; Weinberg, S.: Elementary particles and the laws of physics. Cambridge University Press, 1987.

[2] Hilbert, D.: Mathematische Probleme, in: Gesammelte Abhandlungen Band 3. Springer-Verlag Berlin, 1935.

[3] Klügel, Georg Simon: Mathematisches Wörterbuch in 5 Bänden. Bey E. B. Schwickert Leipzig, 1823.

[4] Quaisser, E.: Diskrete Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1994.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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