wichtiger Begriff in der Theorie der Hilberträume und konformen Abbildungen.

Es sei X ein lokal kompakter topologischer Raum, L ein Hilbertraum (über ℂ) und H ⊂ L ein abgeschlossener Unterraum, der aus stetigen Funktionen f : X → ℂ besteht. Das Skalarprodukt auf L werde mit (f, g) bezeichnet, die Norm mit \(||\space f||\space =\space {(f,\space f)}^{\frac{1}{2}}\). Die Elemente von L brauchen zwar i. allg. keine Funktionen zu sein, zumeist ist dies aber der Fall; sie sollen daher mit f, g,… benannt werden. H selbst ist mit dem Skalarprodukt von L ein Hilbertraum, man bezeichnet ihn als Hilbertschen Funktionenraum.

Es sei nun \begin{eqnarray}P:L\to H\end{eqnarray} die orthogonale Projektion. Definitionsgemäß gilt dann (f − Pf, g) = 0 für alle g ∈ H und alle f ∈ L und damit (f,g) = (Pf,g) für f ∈ L und g ∈ H. Die Hilberträume sollen als separabel vorausgesetzt werden.

Für jedes x ∈ X ist die Abbildung \begin{eqnarray}{\delta }_{x}:H\to {\mathbb{C}},\space \space f\mapsto f(x)\end{eqnarray} linear.

Man sagt, H genügt der Bergman-Bedingung, wenn es zu jeder kompakten Menge M ⊂ X eine Konstante C_M mit \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{x\in M}|f(x)|\le {C}_{M}\Vert f\Vert \end{eqnarray} für alle f ∈ H gibt. Damit folgt aus der Konvergenz in der Norm die kompakte Konvergenz, und die δ_x sind stetig.

Ist für H die Bergman-Bedingung erfüllt, dann gibt es nach dem Satz von Fischer-Riesz zu jedem x ∈ X genau eine Funktion K_x ∈ H mit \begin{eqnarray}(f,{K}_{x})={\delta }_{x}(f)=f(x)\end{eqnarray} für alle f ∈ H. Durch \begin{eqnarray}K(x,y):={K}_{x}(y)\end{eqnarray} ist damit eine Funktion \begin{eqnarray}K:X\times X\to {\mathbb{C}}\end{eqnarray} erklärt, die man als Kernfunktion oder reproduzierenden Kern des Hilbertschen Funktionenraumes H bezeichnet. Aus den Definitionen allein ergeben sich die folgenden formalen Eigenschaften von K:

Ein wichtiges Beispiel eines Hilbertschen Funktionenraumes, der der Bergman-Bedingung genügt, ist der Bergman-Raum, der Unterraum der quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}^{2}(G)={L}^{2}(G)\cap {\mathscr{O}}(G),\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{L}^{2}=\left\{f:{\rm{\Omega }}\to {\mathbb{C}}:f\space \text{me}\unicode{x00DF}\text{bar},\space \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}{|f|}^{2}d\mu \lt \infty \right\}\end{eqnarray} und G ⊂ ℂ ein beliebiges Gebiet sei.

Zuweilen beschränkt man die Bezeichnung „Hilbertscher Funktionenraum“ auch auf den speziellen Hilbertraum L² mit dem Skalarprodukt \begin{eqnarray}(f,g)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}f\bar{g}d\mu \end{eqnarray} und der Norm \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{2}={\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}{|f|}^{2}d\mu \right)}^{1/2}\end{eqnarray} (Funktionenräume).