eine Aussage über die Irreduzibilität eines Polynoms.

Sei f (T₁, T₂, …, T_k, X₁, …, X_n) ein irreduzibles Polynom über ℚ in den Variablen T₁, …, T_k und X₁, …, X_n. Das Hilbertsche Irreduzibilitätstheorem besagt, daß für unendlich viele (t₁, …, t_k) ∈ ℚ^k das durch „Spezialisierung“ erhaltene Polynom f (t₁, t₂, …, t_k, X₁, …, X_n) über ℚ irreduzibel ist.<?PageNum _414 Ein einfaches Beispiel ist gegeben durch das Polynom f (T, X) = X² − T. Das Polynom f (t, X) ist irreduzibel über ℚ für alle t ∈ ℚ, die kein Quadrat einer Zahl aus ℚ sind.

Körper \({\mathbb{K}}\), für welche das Irreduzibilitätstheorem gilt, wenn man ℚ durch \({\mathbb{K}}\) ersetzt, heißen Hilbert-Körper.

Das Irreduzibilitätstheorem ist von Bedeutung in der inversen Galoistheorie. In diesem Fall betrachtet man \({\mathbb{K}}\space \text{=}\space {\mathbb{Q}}({T}_{\text{1}}\text{,}\ldots \text{,}{T}_{k})\), den rationalen Funktionenkörper über ℚ, und \(f({T}_{1},\ldots, {T}_{k},X)\in {\mathbb{K}}[X]\) ein irreduzibles Polynom mit Galoisgruppe G (über \({\mathbb{K}}\)). Aus dem Irreduzibilitätstheorem folgt, daß es unendlich viele (t₁, …, t_k) ∈ ℚ^k gibt derart, daß f (t₁, …, t_k, X) ∈ ℚ[X] irreduzibel mit zu G isomorpher Galoisgruppe (über ℚ) ist. In dieser Weise konnte Hilbert zeigen, daß die volle symmetrische Gruppe S_n und die alternierende Gruppe A_n als Galoisgruppe über ℚ realisiert werden können, da die allgemeine Gleichung n-ten Grads, d. h. die Gleichung, in der die Koordinaten als Variablen aufgefaßt werden, die Galoisgruppe S_n über dem Körper der rationalen Funktionen in den Koordinaten hat.