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Lexikon der Mathematik: Hodge-Struktur, gemischte

ein endlich-dimensionaler Vektorraum H über ℚ mit einer aufsteigenden Filtration W („Gewichtsfiltration“) \begin{eqnarray}\ldots {W}_{k}\subseteq {W}_{k+1}\subseteq \ldots \end{eqnarray} und einer absteigenden Filtration F („Hodge-Filtration“) auf H = H ⊗ ℂ \begin{eqnarray}\ldots {F}^{p}\subseteq {F}^{p-1}\subseteq \ldots \end{eqnarray} so, daß für alle l die Filtration F eine Hodge-Struktur vom Gewicht l auf \(G{r}_{l}^{W}({H}_{{\mathbb{Q}}})={W}_{l}/{W}_{l-1}\) induziert. Dann zerfällt H in H = ⊕Ip,q so, daß \begin{eqnarray}{W}_{l}\otimes {\mathbb{C}}=\displaystyle \sum _{p+1\le l}{H}^{p,q}\space \space \text{und}\space {F}^{p}=\displaystyle \sum _{a\ge p}{I}^{a,b}.\end{eqnarray}

Es gilt allerdings im allgemeinen nicht, daß Iq,p konjugiert ist zu Ip,q. Das wichtigste Beispiel ist, daß die Kohomologie Hk(X, ℚ) von quasiprojektiven algebraischen Varietäten über ℂ eine gemischte Hodge-Struktur besitzt, die funktoriell von X abhängt. Die Hodge-Zahlen hp,q sind höchstens im Bereich \begin{eqnarray}\max \space \space (0,k-n)\le p,q\le n=\dim X\end{eqnarray} von Null verschieden.

WennX glatt ist, ist Wk−1Hk(X, ℚ) = 0, und wenn X projektiv ist, dann ist WkHk(X, ℚ) = Hk(X, ℚ), so-daß man also im Falle glatter projektiver Varietäten die übliche (reine) Hodge-Struktur erhält.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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