Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: höhere Ableitungen einer Funktion

die in Verallgemeinerung der Ableitung f′ einer Funktion f : Df → ℝ mit Df ⊂ ℝ für 2 ≤ k ∈ ℕ gebildeten Funktionen f(k) : Df (k) → ℝ, wobei \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{f}^{(0)} & = & f\\ {f}^{(k)} & = & ({f}^{(k-1)})^{\prime} \quad \space (k\in {\mathbb{N}})\end{array}\end{eqnarray} rekursiv erklärt ist. Es ist also f(1) = f′, f(2) = f″ usw. Man nennt f(k) die k-te Ableitung oder die Ableitung k-ter Ordnung von f und k die Ordnung oder den Grad der Ableitung. Dabei gilt Df (k)Df (k−1), wobei die Inklusion echt sein kann, wie z.B. die durch ϕ(x) = x|x| definierte Funktion ϕ : ℝ → ℝ mit Dϕ = Dϕ = ℝ und Dϕ = ℝ \ {0} zeigt.

Ist xDf (k) für ein k ∈ ℕ, so heißt f k-mal differenzierbar an der Stelle x, und ist f(k) dabei stetig an der Stelle x, so heißt f k-mal stetig differenzierbar an der Stelle x. Gilt xDf(k) für alle k ∈ ℕ, so heißt f beliebig (oder unendlich) oft differenzierbar an der Stelle x.

f heißt k-mal (stetig) differenzierbar bzw. beliebig (oder unendlich oft) differenzierbar, wenn f an allen Stellen xDf k-mal (stetig) differenzierbar bzw. beliebig oft differenzierbar ist. Für die höheren Ableitungen ist auch die Schreibweise als Differentialquotient gängig: \begin{eqnarray}{f}^{(k)}=\frac{{d}^{k}f}{d{x}^{k}}=\frac{{d}^{k}}{d{x}^{k}}f={\left(\frac{d}{dx}\right)}^{k}f.\end{eqnarray}

Präziser ist die Schreibweise f(k) = Dkf mit dem Differentialoperator D.

Entsprechend definiert man auch höhere partielle Ableitungen einer reellwertigen Funktion f mehrerer reeller Variabler x1,…,xn und notiert diese für j ∈ {1,…, n} als \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{k}f}{\partial {x}_{j}^{k}}=\frac{{\partial }^{k}}{\partial {x}_{j}^{k}}f={\left(\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right)}^{k}f\end{eqnarray} oder bei gemischten Ableitungen als \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{{k}_{1}}\cdots {\partial }^{{k}_{p}}}{\partial {x}_{{j}_{1}}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{{j}_{p}}^{{k}_{p}}}f=\frac{{\partial }^{{k}_{1}}}{\partial {x}_{{j}_{1}}^{{k}_{1}}}\cdots \frac{{\partial }^{{k}_{p}}}{\partial {x}_{{j}_{p}}^{{k}_{p}}}f,\end{eqnarray} mit p ∈ ℕ, j1,…,jp ∈ ℕ und k1,…,kp ∈ ℕ. Dabei heißt k1 + …+ kp der Grad der Ableitung. Gilt fCk (G) mit einem offenen G ⊂ ℝn, so kann man nach dem Satz von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen beliebig wählen und für k1,…,kn ∈ ℕ mit k1 + …+ knk \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{{k}_{1}}\cdots {\partial }^{{k}_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}f=\frac{{\partial }^{{k}_{1}}}{\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}}\cdots \frac{{\partial }^{{k}_{n}}}{\partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}f\end{eqnarray} schreiben, oder mit dem Differentialoperator \begin{eqnarray}{\text{D}}^{({k}_{1},\ldots, {k}_{n})}f=\frac{{\partial }^{{k}_{1}}}{\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}}\cdots \frac{{\partial }^{{k}_{n}}}{\partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}f.\end{eqnarray}

Höhere Ableitungen eines Produkts von Funktionen lassen sich mit der Produktformel von Leibniz berechnen. Der verallgemeinerte Satz von Rolle ist eine Aussage über die Nullstellen höherer Ableitungen. Die Gebrochene Analysis verallgemeinert höhere Ableitungen und iterierte Integrationen auf nicht-ganze Ordnungen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos