die in Verallgemeinerung der Ableitung f′ einer Funktion f : D_f → ℝ mit D_f ⊂ ℝ für 2 ≤ k ∈ ℕ gebildeten Funktionen f^(k) : D_{f (k)} → ℝ, wobei \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{f}^{(0)} & = & f\\ {f}^{(k)} & = & ({f}^{(k-1)})^{\prime} \quad \space (k\in {\mathbb{N}})\end{array}\end{eqnarray} rekursiv erklärt ist. Es ist also f⁽¹⁾ = f′, f⁽²⁾ = f″ usw. Man nennt f^(k) die k-te Ableitung oder die Ableitung k-ter Ordnung von f und k die Ordnung oder den Grad der Ableitung. Dabei gilt D_{f (k)} ⊂ D_{f (k−1)}, wobei die Inklusion echt sein kann, wie z.B. die durch ϕ(x) = x|x| definierte Funktion ϕ : ℝ → ℝ mit D_ϕ = D_ϕ′ = ℝ und D_ϕ″ = ℝ \ {0} zeigt.

Ist x ∈ D_{f (k)} für ein k ∈ ℕ, so heißt f k-mal differenzierbar an der Stelle x, und ist f^(k) dabei stetig an der Stelle x, so heißt f k-mal stetig differenzierbar an der Stelle x. Gilt x ∈ D_f(k) für alle k ∈ ℕ, so heißt f beliebig (oder unendlich) oft differenzierbar an der Stelle x.

f heißt k-mal (stetig) differenzierbar bzw. beliebig (oder unendlich oft) differenzierbar, wenn f an allen Stellen x ∈ D_f k-mal (stetig) differenzierbar bzw. beliebig oft differenzierbar ist. Für die höheren Ableitungen ist auch die Schreibweise als Differentialquotient gängig: \begin{eqnarray}{f}^{(k)}=\frac{{d}^{k}f}{d{x}^{k}}=\frac{{d}^{k}}{d{x}^{k}}f={\left(\frac{d}{dx}\right)}^{k}f.\end{eqnarray}

Präziser ist die Schreibweise f^(k) = D^kf mit dem Differentialoperator D.

Entsprechend definiert man auch höhere partielle Ableitungen einer reellwertigen Funktion f mehrerer reeller Variabler x₁,…,x_n und notiert diese für j ∈ {1,…, n} als \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{k}f}{\partial {x}_{j}^{k}}=\frac{{\partial }^{k}}{\partial {x}_{j}^{k}}f={\left(\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\right)}^{k}f\end{eqnarray} oder bei gemischten Ableitungen als \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{{k}_{1}}\cdots {\partial }^{{k}_{p}}}{\partial {x}_{{j}_{1}}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{{j}_{p}}^{{k}_{p}}}f=\frac{{\partial }^{{k}_{1}}}{\partial {x}_{{j}_{1}}^{{k}_{1}}}\cdots \frac{{\partial }^{{k}_{p}}}{\partial {x}_{{j}_{p}}^{{k}_{p}}}f,\end{eqnarray} mit p ∈ ℕ, j₁,…,j_p ∈ ℕ und k₁,…,k_p ∈ ℕ. Dabei heißt k₁ + …+ k_p der Grad der Ableitung. Gilt f ∈ C^k (G) mit einem offenen G ⊂ ℝⁿ, so kann man nach dem Satz von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen beliebig wählen und für k₁,…,k_n ∈ ℕ mit k₁ + …+ k_n ≤ k \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{{k}_{1}}\cdots {\partial }^{{k}_{n}}}{\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}f=\frac{{\partial }^{{k}_{1}}}{\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}}\cdots \frac{{\partial }^{{k}_{n}}}{\partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}f\end{eqnarray} schreiben, oder mit dem Differentialoperator \begin{eqnarray}{\text{D}}^{({k}_{1},\ldots, {k}_{n})}f=\frac{{\partial }^{{k}_{1}}}{\partial {x}_{1}^{{k}_{1}}}\cdots \frac{{\partial }^{{k}_{n}}}{\partial {x}_{n}^{{k}_{n}}}f.\end{eqnarray}

Höhere Ableitungen eines Produkts von Funktionen lassen sich mit der Produktformel von Leibniz berechnen. Der verallgemeinerte Satz von Rolle ist eine Aussage über die Nullstellen höherer Ableitungen. Die Gebrochene Analysis verallgemeinert höhere Ableitungen und iterierte Integrationen auf nicht-ganze Ordnungen.