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Lexikon der Mathematik: höhere Fréchet-Ableitung

ausgehend von der Fréchet-Ableitung für eine Fréchet-differenzier- bare Abbildung f induktiv durch \begin{eqnarray}{f}^{(0)}:=f\space \text{und}\space {f}^{(n+1)}:=({f}^{(n)})^{\prime} \quad (n\in {{\mathbb{N}}}_{0})\end{eqnarray} in geeigneten Teilbereichen des Definitionsbereichs für ℕ ∍ k ≥ 2 definierte Abbildung f(k).

Es seien X, Y normierte Vektorräume (über ℝ oder ℂ), \({\mathfrak{D}}\space \subset X\), a innerer Punkt von \({\mathfrak{D}}\), d.h. \(a\in {{\mathfrak{D}}}^{\circ }\) und \(f:{\mathfrak{D}}\to Y\). f heißt genau dann in a Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte lineare Abbildung A : XY so existiert, daß \begin{eqnarray}f(x)=f(a)+A(x-a)+o(\Vert x-a\Vert )\quad ({\mathfrak{D}}\ni x\to a)\end{eqnarray} gilt. Hierbei bezeichnet o eines der LandauSymbole, bedeutet also gerade, daß der ,Rest‘ r(x) := f(x) − f(a) − A(xa) schneller als von erster Ordnung gegen 0 strebt, d. h. \begin{eqnarray}r(x)=\varepsilon (x)\Vert x-a\Vert \end{eqnarray} mit einer stetigen Abbildung ϵ : XY mit ϵ(0) = 0 gilt, f also durch die affine Abbildung x ↦ f (a) + A(xa) nahebei a gut approximiert wird. Die eindeutig bestimmte beschränkte lineare Abbildung A heißt Fréchet-Ableitung, von f in a und wird mit \begin{eqnarray}f^{\prime} (a)=\frac{d}{dx}f(x)|{}_{x=a}=\frac{df}{dx}(a)=(Df)(a)\end{eqnarray} bezeichnet. Für eine Menge \({\mathfrak{M}}\) von inneren Punkten aus \({\mathfrak{D}}\) heißt f auf \({\mathfrak{M}}\) differenzierbar genau dann, wenn für alle \(x\in {\mathfrak{M}}\) gilt: f ist in x differenzierbar. Statt innerer Punkt kann allgemeiner vorausgesetzt werden, daß x nur Häufungspunkt zu \({\mathfrak{D}}\) ist.

Mit f(0)f und \begin{eqnarray}{\mathfrak{D}}(f^{\prime} ):=\{x\in {{\mathfrak{D}}}^{\circ }|f\space \text{in}\space x\space \text{differenzierbar}\}\end{eqnarray} ist dann \begin{eqnarray}f^{\prime} :{\mathfrak{D}}(f^{\prime} )\to L(X,Y),\end{eqnarray} wobei L(X, Y) den normierten Raum der linearen beschränkten Abbildungen von X in Y bezeichnet. f′ kann also selbst wieder auf Differenzierbarkeit untersucht werden. So definiert man rekursiv \begin{eqnarray}{\mathfrak{D}}({f}^{(n+1)}):={\mathfrak{D}}(({f}^{(n)})^{\prime} )\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}^{(n+1)}(x):=({f}^{(n)})^{\prime} (x)\quad \mathrm{f\ddot{u}r}\quad x\in {\mathfrak{D}}({f}^{(n+1)}).\end{eqnarray}f(n) bzw. f(n)(a) heißt n-te Ableitung von f bzw. n-te Ableitung von f in a. Für die Fréchet-Ableitung gelten ähnliche Regeln wie für die Ableitung einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen oder einer Funktion aus ℝn in ℝm (für n, m ∈ ℕ), speziell etwa die Kettenregel.

Spezialisiert man auf X = Y = ℝ, so stimmen die höheren Fréchet-Ableitungen mit den „klassischen“ höheren Ableitungen überein.

Für h1, h2X ist \begin{array}{l}f^{\prime\prime} (a)\in L(X,L(X,Y))=:{L}_{2}(X,Y),\\ f^{\prime\prime} (a){h}_{1}:=f^{\prime\prime} (a)({h}_{1})\in L(X,Y),\\ f^{\prime\prime} (a){h}_{1}{h}_{2}:=(f^{\prime\prime} (a)({h}_{1}))({h}_{2})\in Y.\end{array}

In Abhängigkeit von (h1, h2) ist f″(a) bilinear und beschränkt, kann also als beschränkte bilineare Abbildung von X × X in Y aufgefaßt werden. Allgemeiner kann entsprechend f(k) (a) als multilineare (k-lineare) beschränkte Abbildung von Xk in Y aufgefaßt werden. Der Satz von Schwarz zeigt, daß sie – unter geeigneten Voraussetzungen – symmetrisch ist. Den Wert \begin{eqnarray}\delta f(x;h):=df(x;h):=f^{\prime} (x)h\end{eqnarray} (für in x differenzierbares f) bezeichnet man als Fréchet-Differential der Abbildung f im Punkte x für den „Zuwachs“ h.

Entsprechend wird bei n-maliger Differenzierbarkeit von f an der Stelle x der Ausdruck \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\delta }^{n}f(x;{h}_{1},\ldots, {h}_{n}) & := & {d}^{n}f(x;{h}_{1},\ldots, {h}_{n})\\ & := & {f}^{(n)}(x){h}_{1}\ldots {h}_{n}\end{array}\end{eqnarray} als n-tes Fréchet-Differential der Abbildung f im Punkte x für die „Zuwächse“ h1, …, hn bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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