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Lexikon der Mathematik: holomorph fortsetzbare Funktion

fundamentaler Begriff in der Funktionentheorie auf Bereichen im ℂn. Eine Funktion \(f\in {\mathscr{O}}(X)\) (Algebra der holomorphen Funktionen auf X) heißt holomorph fortsetzbar (von einem Punkt aX) auf einen Polyzylinder P (a; ϱ), wenn ihre Taylorreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v\in {{\mathbb{N}}}^{n}}\frac{({D}^{v}f)(a)}{v!}{(z-a)}^{v}\end{eqnarray} auf P (a; ϱ) konvergiert; sie heißt holomorph fortsetzbar in einen Punkt y ∈ ℂn\X, wenn für ein aX, der Punkt y in einem Polyzylinder P (a; ϱ) liegt, auf den f holomorph fortsetzbar ist.

Wenn eine Funktion \(f\in {\mathscr{O}}(X)\) holomorph fortsetzbar von einem Punkt aX auf P = P (a; ϱ) ist, impliziert dies nicht notwendig, daß f holomorph fortsetzbar auf XP ist, weil die Fortsetzung von dem Punkt a abhängig sein kann (z. B. im Fall \(f=\surd \cdot \in ({{\mathbb{C}}}^{* }\backslash {{\mathbb{R}}}_{\lt 0})\)). Es gilt aber die folgende Aussage: Wenn XP zusammenhängend ist, dann ist f genau dann holomorph fortsetzbar auf P, wenn f holomorph fortsetzbar auf XP ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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