zu einer in einer offenen Menge D ⊂ ℂ holomorphen Funktion f existierende in D holomorphe Funktion g mit \begin{eqnarray}\exp \space (g(z))=f(z)\end{eqnarray} für z ∈ D, wobei exp die Exponentialfunktion ist.

Im allgemeinen muß ein holomorpher Logarithmus zu f in D nicht existieren. Eine notwendige Bedingung ist, daß f in D keine Nullstellen besitzt. Es gilt folgendes Existenzkriterium.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f eine in D holomorphe Funktion, die in D keine Nullstellen besitzt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es existiert ein holomorpher Logarithmus zu f in D.
2. Die logarithmische Ableitung f′/f besitzt eine Stammfunktion in D, d. h. es gibt eine in D holomorphe Funktion F mit \begin{eqnarray}F^{\prime} (z)=\frac{f^{\prime} (z)}{f(z)}\end{eqnarray}für z ∈ D.

Hieraus ergibt sich der Existenzsatz für holomorphe Logarithmen:

Es sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann besitzt jede in D holomorphe Funktion f, die in D keine Nullstellen hat, einen holomorphen Logarithmus.

Siehe auch die Stichwörter zum Themenkreis „Logarithmus“.