neben der homologischen Dimension eines topologischen Raums versteht man darunter auch die Minimallänge von „Auflösungen“ eines Objekts einer abelschen Kategorie durch gewisse Objekte.

Genauer sei \({\mathscr{C}}\) eine abelsche Kategorie und \({\mathscr{B}}\) eine feste Klasse von Objekten aus \({\mathscr{C}}\). Dann ist die (projektive bzw. injektive) homologische Dimension bzgl. \({\mathscr{B}}\) eines Objekts A aus \({\mathscr{C}}\) gegeben als die kleinste Zahl n, für die eine exakte Sequenz von Morphismen (Komplex von Morphismen) \begin{eqnarray}0\to {B}_{n}\to {B}_{n-1}\to \cdots \to {B}_{0}\to A\to 0\end{eqnarray} mit \({B}_{i}\in {\mathcal B} \) für alle i ∈ {0, …, n}, bzw. \begin{eqnarray}0\to A\to {B}_{0}\to {B}_{1}\to \cdots \to {B}_{n}\to 0\end{eqnarray} für die injektive homologische Dimension, existiert. Existiert keine solche Zahl, so setzt man die homologische Dimension gleich ∞.

Von besonderer Bedeutung ist der Fall, daß die Kategorie \({\mathscr{C}}\) die Kategorie der Links- (oder Rechts-) Moduln über einem assoziativen Ring mit 1 ist. Ist \({\mathscr{B}}\) die Klasse aller projektiven Moduln, so erhält man über die projektive Auflösung die projektive Dimension des Moduls A. Bildet \({\mathscr{B}}\) die Klasse aller injektiven Moduln, so erhält man über die injektive Auflösung die injektive Dimension des Moduls A. Die (links-)globale Dimension des Rings R wird gegeben durch das Supremum der projektiven Dimensionen über alle Links-Moduln. Für den Polynomring \({\mathbb{K}}\text{[}{X}_{\text{1}}\text{,}{X}_{\text{2}}\text{,}\ldots \text{,}{X}_{n}\text{]}\) über einem Körper \({\mathbb{K}}\) gilt, daß er die globale Dimension n besitzt. In dieser Weise werden wichtige numerische Invarianten von Ringen und Moduln definiert.