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Lexikon der Mathematik: homotope Wege

Wege in einem Gebiet G ⊂ ℂ, die sich in G stetig ineinander überführen lassen.

Zur präzisen Definition betrachtet man zwei Fälle.

1. Zwei Wege γ0, γ1: [0, 1] → G in einem Gebiet G ⊂ ℂ mit gleichem Anfangspunkt a und Endpunkt b heißen homotop in G bei festen Endpunkten (oder kurz FEP-homotop), falls es eine stetige Abbildung ψ: [0, 1] × [0, 1] → G gibt, die folgende Eigenschaften besitzt: \begin{eqnarray}\begin{array}{rl}\psi (0,t)={\gamma }_{0}(t), & \psi (1,t)={\gamma }_{1}(t),\space \space t\in [0,1],\\ \psi (s,0)=a, & \psi (s,1)=b,\space \space s\in [0,1].\end{array}\end{eqnarray}

Die Abbildung ψ heißt eine Homotopie zwischen γ0 und γ1. Für jedes s ∈ [0, 1] ist γs : [0, 1] → G, tψ(s, t) ein Weg in G mit Anfangspunkt a und Endpunkt b. Die Wegeschar (γs)s∈[0, 1] nennt man auch eine Deformation des Weges γ0 in den Weg γ1.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel homotope Wege
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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FEP-homotope Wege

2. Zwei geschlossene Wege γ0, γ1 : [0, 1] → G in einem Gebiet G ⊂ ℂ heißen frei homotop in G, falls es eine stetige Abbildung ψ: [0, 1] × [0, 1] → G gibt, die folgende Eigenschaften besitzt: \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\psi (0,t)={\gamma }_{0}(t),\space \space \psi (1,t)={\gamma }_{1}(t),\space \space t\in [0,1],\\ \psi (s,0)=\psi (s,1),\space \space s\in [0,1].\end{array}\end{eqnarray}

Dann sind alle Deformationswege γs : [0, 1] → G, tψ(s, t) geschlossen, und ihre Anfangspunkte durchlaufen in G den Weg δ: [0, 1] → G, sψ (s, 0). Die Wege γ0 und δ + γ1δ haben gleichen Anfangs- und Endpunkt und sind FEP-homotop in G.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel homotope Wege
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Frei homotope Wege

Homotope Wege spielen u. a. beim Cauchyschen Integralsatz eine zentrale Rolle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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