Aussage über Abbildungen auf Sphären.

Sei \begin{eqnarray}{S}^{n-1}:=\{x\in {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n}|{\Vert x\Vert }^{2}=1\}\subseteq {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n}\end{eqnarray}die (n − 1)-dimensionale Einheitssphäre. Sei weiterhin \begin{eqnarray}g:{S}^{n-1}\times {S}^{n-1}\to {S}^{n-1}\end{eqnarray}eine stetige ungerade Abbildung, d. h. \begin{eqnarray}g(-x,y)=g(x,-y)=-g(x,y)\end{eqnarray}für alle x, y ∈ Sⁿ⁻¹.

Dann ist n eine Zweierpotenz.

Eine andere Version ist die folgende:

Unter einer H-Mannigfaltigkeit Γ versteht man eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, in der eine stetige Multiplikation μ : Γ × Γ → Γ mit einem Einselement definiert ist. Dann gilt der Satz:

Es sei Γ eine kompakte H-Mannigfaltigkeit. Dann ist ihr reeller Kohomologiering isomorph mit dem Kohomologiering eines Produktes \({S}^{2{n}_{1}-1}\times \cdots \times {S}^{2{n}_{k}-1}\)von Sphären \({S}^{2{n}_{i}-1}\)der Dimension 2n_i − 1.