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Lexikon der Mathematik: Horn-Formel

logischer Ausdruck spezieller Gestalt, formalisiert in einer elementaren SpracheL.

Zur Präzisierung des Begriffs führen wir zunächst induktiv Basis-Hornformeln wie folgt ein:

  1. Jede negierte oder unnegierte Atomformel ist eine Basis-Hornformel. (Formeln dieser Art heißen auch – insbesondere in der Informatik – Literale).
  2. Ist ϕ eine Basis-Hornformel und χ eine Atomformel, dann sind ϕ ∨ ¬ψ und ¬ψϕ ebenfalls Basis-Hornformeln.

Eine Basis-Hornformel ϕ ist also eine Alternative von Literalen, in der höchstens ein Alternativglied unnegiert auftritt. Bis auf Vertauschung der Glieder hat ϕ dann die Gestalt ¬ϕ1 ∨ … ∨ ¬ϕn oder ¬ϕ1 ∨ … ∨¬ϕnψ, wobei ϕ1, …, ϕn und ψ Atomformeln sind. Eine Alternative der Gestalt ¬ϕ1 ∨ … ∨¬ϕnψ ist logisch äquivalent zu ϕ1 ∧ … ∧ ϕnψ und wird als Regel zur Gewinnung neuer Fakten angesehen. Basis-Hornformeln sind von grundlegender Bedeutung in der Theorie der logischen Programmierung, die aus den Untersuchungen zur künstlichen Intelligenz bzgl. des automatischen „Theorembeweisens“ hervorgegangen ist.

Alle Ausdrücke, die man aus Basis-Hornformeln durch Quantifizierung und anschließender Bildung von Konjunktionen gewinnt, heißen Horn-Formeln. Enthält eine solche Horn-Formel keine freie Variable, dann wird sie Horn-Aussage genannt. Horn-Aussagen übertragen z. B. ihre Gültigkeit auf reduzierte Produkte algebraischer Strukturen, wenn sie in allen Faktoren des Produktes gültig sind.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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