Lexikon der Mathematik: Hurwitz, Satz von, über holomorphe Funktionenfolgen
lautet:
Es sei G ∈ ℂ ein Gebiet und (fn) eine Folge von in G holomorphen Funktionen, die in G kompakt konvergent gegen f ist. Weiter sei U eine beschränkte, offene Menge mit
Dann gibt es einen Index nU ∈ ℕ derart, daß die Funktionen f und fn mit n ≥ nU in
Als Folgerung ergibt sich folgender Satz.
Es sei G ∈ ℂ ein Gebiet und (fn) eine Folge von in G holomorphen Funktionen, die in G kompakt konvergent gegen f ist. Weiter besitze keine der Funktionen fn eine Nullstelle in G.
Dann ist entweder f (z) ≡ 0, oder f besitzt keine Nullstelle in G.
Der Fall, daß f (z) = 0, kann tatsächlich vorkommen. Dies zeigt das Beispiel G = ℂ \{0} und fn (z) = z/n.
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