Sinus hyperbolicus, eine der Hyperbelfunktionen, nämlich die durch \begin{eqnarray}\sinh x=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}\end{eqnarray} für x ∈ ℝ definierte ungerade und differenzierbare Funktion \begin{eqnarray}\sinh :{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

Es gilt sinh′ = cosh. sinh erfüllt für x, y ∈ ℝ die Additions- und Summentheoreme \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\sinh (x\pm y) & = & \sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\ \sinh x+\sinh y & = & 2\sinh \frac{x+y}{2}\cosh \frac{x-y}{2}\\ \sinh x-\sinh y & = & 2\cosh \frac{x+y}{2}\sinh \frac{x-y}{2}\end{array}\end{eqnarray} und die Multiplikationsformeln \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}2\sinh x\sinh y & = & \cosh (x+y)-\cosh (x-y)\\ 2\sinh x\cosh y & = & \sinh (x+y)+\sinh (x-y)\end{array}\end{eqnarray} sowie die Verdopplungs- und Halbierungsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\sinh 2x & = & 2\sinh x\cosh x\\ {\sinh }^{2}\frac{x}{2} & = & \frac{\cosh x-1}{2}\end{array}\end{eqnarray}

Für x ∈ ℝ hat man die Reihendarstellung \begin{eqnarray}\sinh x=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}.\end{eqnarray}

Es ist sinh²x = cosh²x − 1 für x ∈ ℝ, und für n ∈ ℕ gilt die der de Moivreschen Formel entsprechende Identität \begin{eqnarray}{(\cosh x\pm \sinh x)}^{n}=\cosh nx\pm \sinh nx.\end{eqnarray}

Setzt man die Hyperbelfunktionen und die trigonometrischen Funktionen in die komplexe Ebene fort, so gilt sinh iz = i sin z für z ∈ ℂ. Insbesondere ist sinh : ℂ → ℂ 2πi-periodisch. Alle obigen Formeln gelten auch für komplexe Argumente.