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Lexikon der Mathematik: hyperbolische Trigonometrie

Lehre der Berechnungen an Dreiecken in der hyperbolischen Geometrie.

Wie in der „gewöhnlichen“ (ebenen) Trigonometrie unterschiedet man auch in der hyperbolischen Trigonometrie bei den Dreiecksberechnungen zwischen rechtwinkligen und schiefwinkligen (d. h. nicht rechtwinkligen) Dreiecken.

Für rechtwinklige Dreiecke (mit dem rechten Winkel bei C und den üblichen Bezeichnungen a, b und c sowie α, β und γ für die Seiten und Winkel) gelten die folgenden trigonometrischen Formeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\cosh c=\cot \alpha \cdot \cot \beta, \quad \cos \alpha =\sin \beta \cdot \cosh a,\\ \sinh b=\tanh a\cdot \cot \alpha, \quad \cos \beta =\sin \alpha \cdot \cosh b,\\ \sinh a=\tanh b\cdot \cot \beta, \quad \cos \beta =\tanh a\cdot \coth c,\\ \cosh c=\cosh a\cdot \cosh b,\quad \cos \alpha =\tanh b\cdot \coth c,\\ \sin \beta =\sinh b/\sinh c,\quad \sin \alpha =\sinh a/\sinh c.\end{array}\end{eqnarray}

Berechnungen an beliebigen (schiefwinkligen) Dreiecken der hyperbolischen Ebene lassen sich mit Hilfe des Sinussatzes sowie des Seitencosinussatzes und des Winkelcosinussatzes der hyperbolischen Geometrie durchführen.

Bekanntlich ist die Innenwinkelsumme von Dreiecken in der hyperbolischen Geometrie stets kleiner als π und nicht konstant, sodaß die Berechnung eines Winkels aus den beiden anderen (wie in der „gewöhnlichen“, ebenen Trigonometrie) nicht möglich ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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